Calcule a derivada da seguinte função:
f(x)=x e^x cos x

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada da função f(x)=x e^x cos x. O conteúdo principal é derivada de produto de funções e vamos precisar da regra do produto, da derivada de e^x e da derivada de cos x.

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra do produto entre x e g(x)=e^x cos x. Como ddx(x)=1, temos:
f'(x)=1cdot g(x)+xcdot g'(x)

Passo 3

Agora calculamos g'(x), com g(x)=e^xcos x. De novo, usamos a regra do produto e lembramos que ddx(e^x)=e^x e ddx(cos x)=-sin x:
g'(x)=ddx(e^x)cdotcos x + e^xcdotddx(cos x)=e^xcos x+e^x(-sin x)
Logo,
g'(x)=e^x(cos x-sin x)

Passo 4

Substituindo em f'(x)=g(x)+x,g'(x), temos:
f'(x)=e^xcos x + xcdot e^x(cos x-sin x)

Passo 5

Para simplificar, fatoramos e^x:
f'(x)=e^xl(cos x + x(cos x-sin x)r)=e^xl((1+x)cos x - xsin xr)

Resposta

f'(x)=e^xl((1+x)cos x - xsin xr)

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