Considere a sequência ann >= 1 definida por a1=2 e an+1=12(an+4), n >= 1.
c) Determine se esta sequência é convergente ou não. Justifique!

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência definida por a₁=2 e a_{n+1}=½(a_n+4) e pede para decidir se ela é convergente. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Convergência de Sequência Monótona: se uma sequência é crescente e limitada superiormente, então ela converge.

Passo 2

Vamos provar por indução que para todo n≥1 vale 2≤a_n<4 e, em particular, isso garante que a_{n+1}>a_n, ou seja, a sequência é crescente e limitada acima por 4.
Base (n=1): temos a₁=2, então 2≤a₁<4 é verdade.
Passo indutivo: supondo 2≤a_k<4, então
$$
a_{k+1}=\tfrac12(a_k+4) ak+1=tfrac12(ak+4)½½é
a_{k+1}-a_k=2-\tfrac12a_k>2-\tfrac12\cdot4=0
$$
o que mostra que a_{k+1}>a_k.

Passo 3

Tendo mostrado que (a_n) é crescente e limitada superiormente por 4, aplicamos o Teorema da Convergência de Sequência Monótona, que garante que (a_n) converge. Para saber o valor do limite L, basta fazer:
$$
L=\tfrac12(L+4)$$
resolvendo, obtemos L=4.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 4.

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