Considere a sequência
definida por
e
.
c) Determine se esta sequência é convergente ou não. Justifique!
c) Determine se esta sequência é convergente ou não. Justifique!
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência definida por a₁=2 e a_{n+1}=½(a_n+4) e pede para decidir se ela é convergente. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Convergência de Sequência Monótona: se uma sequência é crescente e limitada superiormente, então ela converge.
Passo 2
Vamos provar por indução que para todo n≥1 vale 2≤a_n<4 e, em particular, isso garante que a_{n+1}>a_n, ou seja, a sequência é crescente e limitada acima por 4.
Base (n=1): temos a₁=2, então 2≤a₁<4 é verdade.
Passo indutivo: supondo 2≤a_k<4, então
Base (n=1): temos a₁=2, então 2≤a₁<4 é verdade.
Passo indutivo: supondo 2≤a_k<4, então
$$
a_{k+1}=\tfrac12(a_k+4)
a_{k+1}-a_k=2-\tfrac12a_k>2-\tfrac12\cdot4=0
$$
o que mostra que a_{k+1}>a_k.
o que mostra que a_{k+1}>a_k.
Passo 3
Tendo mostrado que (a_n) é crescente e limitada superiormente por 4, aplicamos o Teorema da Convergência de Sequência Monótona, que garante que (a_n) converge. Para saber o valor do limite L, basta fazer:
$$
L=\tfrac12(L+4)$$
resolvendo, obtemos L=4.
resolvendo, obtemos L=4.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é 4.