Calcule a derivada da seguinte função:
h(x)=5 x tg(4 x^2-2)
A seguir listamos as opções de 1 até 5 :
(1) 40 x^2 sec (4 x^2-2)
(2) 5 tg(4 x^2-2)+5 x sec ^2(4 x^2-2)
(3) 40 x sec ^2(4 x^2-2)
(4) 5 tg(4 x^2-2)+40 x^2 sec ^2(4 x^2-2)
(5) 5 tg(4 x^2-2)+8 x sec ^2(4 x^2-2)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ h(x) = 5x \tan(4x^{2} - 2) $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções que são produtos de outras funções e funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas partes que estão sendo multiplicadas na função $ h(x) $. Temos:
  • $ u(x) = 5x $
  • $ v(x) = \tan(4x^{2} - 2) $

Passo 3

Segundo, aplique a Regra do Produto, que diz que se $ h(x) = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ h’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.

Passo 4

Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de $ u(x) = 5x $:
    u(x) = 5x
  2. Derivada de $ v(x) = \tan(4x^{2} - 2) $:
    • Primeiro, sabemos que a derivada de $ \tan(z) $ em relação a $ z $ é $ \sec^{2}(z) $.
    • Como temos uma função composta $ z = 4x^{2} - 2 $, usamos a Regra da Cadeia: u'(x) = 5

Passo 5

Agora, substitua $ u’(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da Regra do Produto:
u'(x)
Simplificando:
v'(x)

Resposta

A derivada de $ h(x) $ é:
h(x)
Portanto, a opção correta é a (4).

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