Calcule a derivada da seguinte função:
A seguir listamos as opções de 1 até 5 :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ h(x) = 5x \tan(4x^{2} - 2) $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções que são produtos de outras funções e funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, identifique as duas partes que estão sendo multiplicadas na função $ h(x) $. Temos:
- $ u(x) = 5x $
- $ v(x) = \tan(4x^{2} - 2) $
Passo 3
Segundo, aplique a Regra do Produto, que diz que se $ h(x) = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ h’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.
Passo 4
Agora, vamos derivar cada parte:
-
Derivada de $ u(x) = 5x $:
-
Derivada de $ v(x) = \tan(4x^{2} - 2) $:
- Primeiro, sabemos que a derivada de $ \tan(z) $ em relação a $ z $ é $ \sec^{2}(z) $.
- Como temos uma função composta $ z = 4x^{2} - 2 $, usamos a Regra da Cadeia:
Passo 5
Agora, substitua $ u’(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da Regra do Produto:
Simplificando:
Resposta
A derivada de $ h(x) $ é:
Portanto, a opção correta é a (4).