Considre a função abaixo
que é bijetiva e possui inversa
. Sendo
o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa
da
, podemos dizer que:
Observação:
Observação:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ definida no intervalo
e mapeando para
. Ela é dada por:
O enunciado diz que essa função é bijetiva, o que significa que ela é injetora e sobrejetora, e por isso tem uma inversa $ g $. A nossa missão é descobrir os valores de $ k $ e $ m $, além de encontrar a expressão da inversa $ g(y) $. Para isso, vamos precisar entender sobre funções trigonométricas, propriedades de bijetividade e como encontrar a inversa de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = -4 \cos (x + 8) + 2 $. A função cosseno, $ \cos $, tem como gráfico uma onda que oscila entre -1 e 1 com um período de $ 2\pi $. Quando a gente multiplica por -4, a amplitude muda para 4, e o sinal invertido faz com que o gráfico seja refletido em relação ao eixo x. Então, $ -4 \cos(x + 8) $ oscila entre -4 e 4.
Passo 3
Agora, ao adicionar 2, ou seja, $ -4 \cos(x + 8) + 2 $, a função toda é deslocada verticalmente para cima em 2 unidades. Assim, o intervalo de $ f(x) $ passa a ser de $ -4 + 2 = -2 $ até $ 4 + 2 = 6 $. Porém, o enunciado nos diz que o mapeamento é para
. Isso significa que precisamos ajustar o domínio de $ x $ para que o valor máximo de $ f(x) $ seja 2.
Passo 4
Para que a função $ f(x) $ atinja o valor máximo de 2, temos:
Resolvendo:
O cosseno é zero em $ \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é inteiro. Vamos considerar o menor valor de $ x $ que satisfaz isso dentro do domínio de $ f $.
Passo 5
Para que a função seja bijetiva, ela precisa ser estritamente crescente ou decrescente no intervalo considerado. A derivada de $ f(x) $ é $ f’(x) = 4 \sin(x + 8) $. Para a função ser estritamente decrescente (já que o coeficiente de
é negativo), precisamos que $ \sin(x + 8) $ seja sempre positivo ou sempre negativo no intervalo. Escolhendo o intervalo adequado, encontramos que $ k = -8 $.
Passo 6
Com $ k = -8 $, o domínio da função fica
. Agora, para encontrar $ m $, que é o menor valor de $ f(x) $, avaliamos em $ x = \frac{\pi - 16}{2} $:
Mas isso nos mostra que o valor mínimo ocorre quando o cosseno é máximo, ou seja,
:
Portanto, $ m = -2 $.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a inversa $ g(y) = f^{-1}(y) $. Para isso, resolvemos a equação $ y = -4 \cos(x + 8) + 2 $ para $ x $:
Aplicando o arco cosseno:
Então, a inversa é:
Resposta
$ k = -8 $, $ m = -2 $ e a inversa é $ g(y) = \arccos\left(\frac{-y + 2}{4}\right) - 8 $.