Calcule a integral
Onde
é a curva fechada
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
Esse tipo de integral a gente resolve rápido se reconhecer que é um campo conservativo e usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, identificamos as componentes do campo vetorial
:
P = ,
Q = ,
R = .
P =
Q =
R =
Passo 3
Agora verificamos se
é conservativo, checando as derivadas cruzadas:
Como todas as condições de exatidão são satisfeitas,
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Depois igualamos
a
:
Integrando em
:
Por fim comparamos
com
e vemos que
, então
audimos
audimos
Passo 5
Como
é uma curva fechada, o teorema fundamental diz
Não importa o ponto de partida, fechando o caminho a variação de
é zero.
Resposta
0