Calcule a integral
ointC 2 x e^2 y d x+2(x^2 e^2 y+y cos z) d y-y^2 sin z d z
Onde C é a curva fechada r(t)=(sin (t^2), cos (raiz2 pi t), t(t-raiz2 pi)), 0 <= t <= raiz2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
ointC 2x e^2y,dx + 2l(x^2 e^2y+ycos zr),dy - y^2sin z,dz
Esse tipo de integral a gente resolve rápido se reconhecer que é um campo conservativo e usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes do campo vetorial F=(P,Q,R):
P = 2x e^2y,
Q = 2(x^2 e^2y+ycos z),
R = -y^2sin z.

Passo 3

Agora verificamos se F é conservativo, checando as derivadas cruzadas:
partial Ppartial y=partialpartial y(2x e^2y)=4x e^2y, partial Qpartial x=partialpartial xl(2(x^2 e^2y+ycos z)r)=4x e^2y,
partial Ppartial z=0, partial Rpartial x=0,
partial Qpartial z=-2ysin z, partial Rpartial y=-2ysin z
Como todas as condições de exatidão são satisfeitas, F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial f(x,y,z), integramos P em relação a x:
f(x,y,z)=integral 2x e^2y,dx = x^2 e^2y + h(y,z)
Depois igualamos partial f/partial y a Q:
partial fpartial y=2x^2 e^2y + hy(y,z) stackrel!= 2(x^2 e^2y+ycos z) implies hy(y,z)=2ycos z
Integrando em y:
h(y,z)=y^2cos z + g(z)
Por fim comparamos partial f/partial z com R e vemos que g'(z)=0, então
audimos
f(x,y,z)=x^2 e^2y+y^2cos z + const

Passo 5

Como C é uma curva fechada, o teorema fundamental diz
ointC Fcdot d r = fl(r(b)r)-fl(r(a)r)=0
Não importa o ponto de partida, fechando o caminho a variação de f é zero.

Resposta

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