Considre a função abaixo
que é bijetiva e possui inversa
. Sendo
o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa
da
, podemos dizer que:
Observação:
Observação:
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
dada por
, que é bijetiva, e queremos achar o maior
possível, o correspondente
e a inversa
.
Passo 2
Para que
seja bijetiva, precisamos escolher o intervalo de
em que
seja estritamente monotônica. Sabemos que
é estritamente decrescente em
. Logo, exigimos
Como o extremo superior do domínio já está fixo em
que pertence a
, o maior valor de
que mantém o domínio dentro dessa região é
Passo 3
Com isso o domínio de
fica
e nele
conferindo o extremo superior dado. O valor mínimo em
é
$$f(-8)=-4\cos(0)+2=-4\cdot1+2=-2,
Passo 4
Para achar a inversa
, escrevemos
Como
, tomamos arccos no lado adequado:
Portanto,
Resposta
k=-8,;m=-2,;g(y)=\arccos\bigl((2-y)/4\bigr)-8