Considre a função abaixo
f:[k, pi-162] & longrightarrow[m, 2] x & longmapsto-4 cos (x+8)+2
que é bijetiva e possui inversa g. Sendo k o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa g da f, podemos dizer que:
Observação: g=f^-1
k=0, m=1, g(y)=arccos ((-y+8) / 4)-2

Passo 1

O enunciado diz que temos a função fcolon [k,tfracpi-162] to [m,2] dada por f(x)=-4cos(x+8)+2, que é bijetiva, e queremos achar o maior k possível, o correspondente m e a inversa g(y)=f^-1(y).

Passo 2

Para que f seja bijetiva, precisamos escolher o intervalo de x em que cos(x+8) seja estritamente monotônica. Sabemos que cos(t) é estritamente decrescente em [0,pi]. Logo, exigimos
x+8 in [0,pi] Long<=ftrightarrow x in [-8,pi-8]
Como o extremo superior do domínio já está fixo em
pi-162=pi2-8,
que pertence a [-8,pi-8], o maior valor de k que mantém o domínio dentro dessa região é
k=-8

Passo 3

Com isso o domínio de f fica
xin [-8,,tfracpi2-8],
e nele f é estritamente crescente. O valor máximo da imagem em x=tfracpi2-8 é
fl(tfracpi2-8r)=-4cosl(tfracpi2r)+2=2,
conferindo o extremo superior dado. O valor mínimo em x=-8 é
$$f(-8)=-4\cos(0)+2=-4\cdot1+2=-2,
f(-8)=-4cos(0)+2=-4cdot1+2=-2, m=-2.$$

Passo 4

Para achar a inversa g(y)=f^-1(y), escrevemos
y=-4cos(x+8)+2 Longrightarrow y-2=-4cos(x+8) Longrightarrow cos(x+8)=-y-24
Como x+8in[0,pi], tomamos arccos no lado adequado:
x+8=arccosl(-y-24r) Longrightarrow x=arccosl(2-y4r)-8
Portanto,
g(y)=arccosl((2-y)/4r)-8

Resposta

k=-8,;m=-2,;g(y)=\arccos\bigl((2-y)/4\bigr)-8

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