Calcule a derivada da seguinte função:
y=ln cotg(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y=lncot(x). Vamos usar regras de derivação: cadeia, derivada de logaritmo natural e derivada da função cotangente.

Passo 2

Aplicamos a regra do logaritmo natural: se y=ln u(x), então
dydx=u'(x)u(x)
Aqui temos u(x)=cot(x).

Passo 3

Precisamos de u'(x). Sabemos que a derivada da cotangente é
ddxcot(x)=-csc^2(x)

Passo 4

Substituindo na regra da derivada do logaritmo:
dydx=u'(x)u(x)=-csc^2(x)cot(x)

Passo 5

Agora simplificamos -csc^2(x)/cot(x). Como cot(x)=cos(x)sin(x) e csc^2(x)=1/sin^2(x), temos
-1/sin^2(x)cos(x)/sin(x)=-1sin(x)cos(x)=-csc(x)sec(x)

Resposta

-csc(x)sec(x)

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