Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
nn+1 sen(n pi2)n >= 1

Passo 1

A sequência é dada por an=nn+1sinl(tfracnpi2r). O conteúdo é análise de limites de sequência envolvendo função periódica (seno) e fator n/(n+1). Vamos precisar usar que n/(n+1)to1 e que sin(npi/2) é periódico de período 4.

Passo 2

Observando a parte trigonométrica, temos
sinl(npi2r)= 1 & se nequiv1pmod4, 0 & se nequiv2pmod4 ou nequiv0pmod4, -1 & se nequiv3pmod4
Isso sugere estudar as subsequências:
a4k+1=4k+14k+2cdot1, a4k+2=4k+24k+3cdot0, a4k+3=4k+34k+4cdot(-1), a4k+4=4k+44k+5cdot0

Passo 3

Agora cada fator nn+1 tende a 1 quando ntoinfty. Assim:
limktoinftya4k+1=1, limktoinftya4k+3=-1, limktoinftya2k=0

Passo 4

Como há subsequências com limites diferentes (1, -1 e 0), a sequência (an) não converge.

Resposta

A sequência diverge.

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