Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
n^2(1-cos an)n >= 1

Passo 1

Temos a sequência un = n^2l(1 - cos(tfracan)r). O tema é limite de sequência e vamos precisar usar a expansão de Taylor de cos x em torno de zero.

Passo 2

Para xto 0 vale a expansão cos x = 1 - tfracx^22 + o(x^2). Substituindo x = tfracan obtemos
cosl(tfracanr) = 1 - a^22n^2 + ol(tfrac1n^2r)(ntoinfty)

Passo 3

Substituindo essa expansão em un dá:
un = n^2l(1 - cosl(tfracanr)r) = n^2l(a^22n^2 + ol(tfrac1n^2r)r)

Passo 4

Ao distribuir o n^2 temos
un = a^22 + n^2cdot ol(tfrac1n^2r) = a^22 + o(1)
Como o(1)to 0 quando ntoinfty, concluímos que un converge para tfraca^22.

Resposta

Converge e limntoinftyn^2l(1-cos(tfracan)r)=tfraca^22.

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