Calcule a derivada das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função que é definida por uma integral:
f(x) = integralcos(x)^6x cos(u^2) , du
Esse exercício está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que têm limites variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma função definida como uma integral com limites variáveis. A regra geral é:
ddx ( integrala(x)^b(x) g(u) , du ) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x)
Isso significa que a derivada de uma integral com limites que dependem de $ x $ é igual à função dentro da integral avaliada nos limites, multiplicada pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função $ f(x) $, identificamos:
  • $ g(u) = \cos(u^{2}) $
  • Limite inferior: $ a(x) = \cos(x) $
  • Limite superior: $ b(x) = 6x $
Agora, calculamos as derivadas dos limites:
f(x)
g(u) = cos(u^2)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
f'(x) = cos( (6x)^2 ) cdot 6 - cos( (cos(x))^2 ) cdot (-sin(x))
Simplificando os sinais:
f'(x) = 6 cos(36x^2) + sin(x) cos(cos^2(x))

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 6, cos(36x^2) + sin(x) cdot cos(cos^2(x))

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