Calcule a derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função que é definida por uma integral:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que têm limites variáveis na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma função definida como uma integral com limites variáveis. A regra geral é:
Isso significa que a derivada de uma integral com limites que dependem de $ x $ é igual à função dentro da integral avaliada nos limites, multiplicada pelas derivadas desses limites.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função $ f(x) $, identificamos:
- $ g(u) = \cos(u^{2}) $
- Limite inferior: $ a(x) = \cos(x) $
- Limite superior: $ b(x) = 6x $
Agora, calculamos as derivadas dos limites:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
Simplificando os sinais:
Resposta
A derivada da função é: