Calcule a derivada das seguintes funções
f(x)=integral2 x^4 x u^2-1u^2+1 d u

Passo 1

Temos a função f(x)=integral2x^4xu^2-1u^2+1,du. O conteúdo é derivar uma integral com limites que dependem de x, usando a Regra de Leibniz (Teorema Fundamental do Cálculo com cadeia).

Passo 2

A Regra de Leibniz diz:
ddxintegrala(x)^b(x)g(u),du = gl(b(x)r),b'(x) - gl(a(x)r),a'(x)
Aqui identificamos: a(x)=2x, b(x)=4x e g(u)=u^2-1u^2+1.

Passo 3

Calculamos cada termo:
  • g(4x)=(4x)^2-1(4x)^2+1=16x^2-116x^2+1 e b'(x)=4.
  • g(2x)=(2x)^2-1(2x)^2+1=4x^2-14x^2+1 e a'(x)=2.
    Substituindo na regra:
f'(x)=416x^2-116x^2+1-24x^2-14x^2+1

Passo 4

Para simplificar, colocamos em um único denominador:
416x^2-116x^2+1-24x^2-14x^2+1 =128x^4+48x^2-2(16x^2+1)(4x^2+1) =2l(64x^4+24x^2-1r)(16x^2+1)(4x^2+1)

Resposta

f'(x)=128x^4+48x^2-2(16x^2+1)(4x^2+1)

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