Determine o valor de
, onde ocorre o máximo da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de $ x $ onde a função $ f(x) = \int_{x{2}}{x^{4}} \ln(t) , dt $ atinge o máximo. Estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas. Vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivar integrais que têm limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o máximo de uma função. O máximo ocorre onde a derivada da função é zero e, além disso, a função está “de voltinha” para baixo nesse ponto. Então, nosso objetivo é encontrar a derivada de $ f(x) $, igualá-la a zero e resolver para $ x $.
Passo 3
Para derivar $ f(x) $, usamos a regra de Leibniz, que diz que se $ f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) , dt $, então:
No nosso caso, $ g(t) = \ln(t) $, $ a(x) = x^{2} $ e $ b(x) = x^{4} $. Vamos derivar agora:
Passo 4
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos ($ \ln(x^{n}) = n\ln(x) $):
Fatorando $ 4x\ln(x) $:
Passo 5
Para encontrar onde a derivada é zero:
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero:
- $ 4x = 0 $ → $ x = 0 $ (mas $ x > 0 $, então descartamos)
- $ \ln(x) = 0 $ → $ x = 1 $
- $ 4x^{2} - 1 = 0 $ → $ x^{2} = \frac{1}{4} $ → $ x = \frac{1}{2} $
Temos dois candidatos: $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = 1 $. Agora, vamos verificar qual deles realmente dá um máximo.
Passo 6
Analisando a segunda derivada ou pensando no comportamento da função:
- Quando $ x = \frac{1}{2} $, a função começa a subir.
- Quando $ x = 1 $, a função atinge o ponto mais alto antes de começar a descer.
Portanto, o máximo ocorre em $ x = 1 $.
Resposta
O valor de $ x $ onde ocorre o máximo da função é $ x = 1 $.