Determine o valor de x, onde ocorre o máximo da função
f(x)=integralx^2^x^4 ln (t) d t, forall x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de $ x $ onde a função $ f(x) = \int_{x{2}}{x^{4}} \ln(t) , dt $ atinge o máximo. Estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas. Vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivar integrais que têm limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o máximo de uma função. O máximo ocorre onde a derivada da função é zero e, além disso, a função está “de voltinha” para baixo nesse ponto. Então, nosso objetivo é encontrar a derivada de $ f(x) $, igualá-la a zero e resolver para $ x $.

Passo 3

Para derivar $ f(x) $, usamos a regra de Leibniz, que diz que se $ f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) , dt $, então:
f(x)
No nosso caso, $ g(t) = \ln(t) $, $ a(x) = x^{2} $ e $ b(x) = x^{4} $. Vamos derivar agora:
f(x) = integrala(x)^b(x) g(t) , dt

Passo 4

Calculando as derivadas:
ddx(x^4) = 4x^3 e ddx(x^2) = 2x
Substituindo:
f'(x) = ln(x^4) cdot 4x^3 - ln(x^2) cdot 2x
Simplificando usando propriedades dos logaritmos ($ \ln(x^{n}) = n\ln(x) $):
ln(x^n) = nln(x)
Fatorando $ 4x\ln(x) $:
f'(x) = 4x^3 cdot 4ln(x) - 2x cdot 2ln(x) = 16x^3ln(x) - 4xln(x)

Passo 5

Para encontrar onde a derivada é zero:
4xln(x)(4x^2 - 1) = 0
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero:
  1. $ 4x = 0 $ → $ x = 0 $ (mas $ x > 0 $, então descartamos)
  2. $ \ln(x) = 0 $ → $ x = 1 $
  3. $ 4x^{2} - 1 = 0 $ → $ x^{2} = \frac{1}{4} $ → $ x = \frac{1}{2} $
Temos dois candidatos: $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = 1 $. Agora, vamos verificar qual deles realmente dá um máximo.

Passo 6

Analisando a segunda derivada ou pensando no comportamento da função:
  • Quando $ x = \frac{1}{2} $, a função começa a subir.
  • Quando $ x = 1 $, a função atinge o ponto mais alto antes de começar a descer.
Portanto, o máximo ocorre em $ x = 1 $.

Resposta

O valor de $ x $ onde ocorre o máximo da função é $ x = 1 $.

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