Calcule a derivada das seguintes funções:

Passo 1

A função dada é f(x)=integral3-2x^2^ln xcosl(t^2r),dt. O conteúdo aqui envolve o Teorema Fundamental do Cálculo com limites que dependem de x e a Regra de Leibniz, que é uma extensão do Teorema Fundamental aliada à Regra da Cadeia.

Passo 2

Pela Regra de Leibniz, se f(x)=integrala(x)^b(x)g(t),dt, então f'(x)=gl(b(x)r)b'(x)-gl(a(x)r)a'(x). Aqui temos g(t)=cos(t^2), b(x)=ln x e a(x)=3-2x^2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dos limites: b'(x)=l(ln xr)'=1/x e a'(x)=l(3-2x^2r)'=-4x. Substituindo em Leibniz, obtemos

Passo 4

$$f’(x)=\cos\bigl((\ln x)^2\bigr)\cdot\frac{1}{x};-
\cos\bigl((3-2x2)2\bigr)\cdot(-4x) = \frac{1}{x}\cos\bigl((\ln x)^2\bigr) + 4x\cos\bigl((3-2x2)2\bigr).$$

Resposta

f'(x)=1xcosl((ln x)^2r) + 4xcosl((3-2x^2)^2r)

Exercícios relacionados