Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=3 x^2 cos ^7(x-1)

Passo 1

O enunciado pede pra gente derivar a função f(x) = 3x^2,cos^7(x-1). O conteúdo essencial aqui é aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos separar a função em duas partes: u(x) = 3x^2 e v(x) = cos^7(x-1). Para u, derivando diretamente, obtemos
u'(x) = 6x
Para v, usamos a regra da cadeia. Defina t(x) = cos(x-1) e w(t) = t^7. Aí:
t'(x) = -sin(x-1),
w'(t) = 7t^6
Logo,
v'(x) = w'(t(x)),t'(x) = 7cos^6(x-1) cdot (-sin(x-1)) = -7cos^6(x-1)sin(x-1)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto: f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Substituindo cada termo, fica:
f'(x) = 6xcos^7(x-1) + 3x^2l(-7cos^6(x-1)sin(x-1)r)

Passo 4

Por fim, simplificando o resultado, obtemos:
f'(x) = 6xcos^7(x-1) - 21x^2cos^6(x-1)sin(x-1)

Resposta

f’(x) = 6x\cos^7(x-1) - 21x2\cos6(x-1)\sin(x-1)

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