Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=ln (3 x+raiz1+9 x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(3x+raiz1+9x^2r)
O conteúdo envolvido é a derivada de logaritmo natural e a regra da cadeia.

Passo 2

Aplique a regra de derivação de ln(u):
f'(x)=u'(x)u(x),
onde u(x)=3x+raiz1+9x^2.

Passo 3

Calcule u'(x):
ddx[3x]=3,
ddxl[raiz1+9x^2r] =12raiz1+9x^2cdot18x =9xraiz1+9x^2
Logo,
u'(x)=3+9xraiz1+9x^2

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =3+9xraiz1+9x^23x+raiz1+9x^2
Multiplique numerador e denominador por raiz1+9x^2:
f'(x) =3raiz1+9x^2+9x raiz1+9x^2,l(3x+raiz1+9x^2r)

Passo 5

Note que
3raiz1+9x^2+9x =3l(raiz1+9x^2+3xr),
e o denominador é
raiz1+9x^2,l(raiz1+9x^2+3xr).
Cancelando o fator comum raiz1+9x^2+3x, obtém-se
f'(x)=3raiz1+9x^2

Resposta

f'(x)=3raiz1+9x^2

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