Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=12 cotg^2(5 x)+ln (sec (5 x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=12,cotg^2(5x)+lnl(sec(5x)r)
Aqui vamos usar:
  • regra da cadeia para funções compostas,
  • ddxl[cotg(u)r]=-,csc^2(u),u',
  • ddxl[sec(u)r]=sec(u),tan(u),u',
  • ddxln(u)=u'u.

Passo 2

Derivando o primeiro termo
tfrac12,cotg^2(5x):
defina u(x)=cotg(5x). Então
ddxl(tfrac12,u^2r) =tfrac12cdot2ucdot u' = ucdot u'
E como
u'=ddxcotg(5x) =-csc^2(5x)cdot5,
segue
ddxl(tfrac12,cotg^2(5x)r) = cotg(5x),l(-5,csc^2(5x)r) =-5,cotg(5x),csc^2(5x)

Passo 3

Derivando o segundo termo lnl(sec(5x)r):
ddxlnl(sec(5x)r) =1sec(5x)cdotddxsec(5x) =1sec(5x)cdotl(sec(5x),tan(5x)cdot5r) =5,tan(5x)

Passo 4

Somando as duas derivadas obtidas:
f'(x) =-5,cotg(5x),csc^2(5x) +5,tan(5x)

Resposta

f'(x)=-5,cotg(5x),csc^2(5x)+5,tan(5x)

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