Calcule os limites no infinito
lim x ightharpoonup+infty(raiz9 x^2+x-3 x)

Passo 1

O enunciado pede o limite no infinito da expressão
raiz9x^2+x;-;3x
O conteúdo principal aqui é lidar com uma raiz quadrada de termo de grau 2 subtraída de um termo linear em x. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização pelo conjugado.

Passo 2

Escrevemos
raiz9x^2+x-3x =l(raiz9x^2+x-3xr),l(raiz9x^2+x+3xr)raiz9x^2+x+3x =9x^2+x-9x^2raiz9x^2+x+3x =xraiz9x^2+x+3x

Passo 3

No denominador, fatoramos x dentro da raiz e em 3x:
raiz9x^2+x=xraiz9+1x,
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raiz9x^2+x+3x =xl(raiz9+tfrac1x+3r)
Assim a expressão fica
xxl(raiz9+tfrac1x+3r) =1raiz9+tfrac1x+3

Passo 4

Agora basta observar que, quando xto+infty, temos tfrac1xto0 e
raiz9+tfrac1x;longrightarrow;raiz9=3
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limxto+infty1raiz9+tfrac1x+3 =13+3 =16

Resposta

16

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