Calcule a derivada das seguintes funções:
y=ln (1+x^x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = lnl(1 + x^xr)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia (para ln) e a derivação de x^x, que envolve reescrever x^x como exponencial.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para y = ln(u):
se u = 1 + x^x, então
y' = u'u = ddx(1 + x^x)1 + x^x

Passo 3

Agora calculamos ddx(1 + x^x). A derivada de 1 é zero, então resta derivar x^x. Para isso, escrevemos
x^x = e^,xln x
e usamos a regra da derivada de exponencial: se w(x)=e^v(x), então
w'(x)=e^v(x)cdot v'(x)
Aqui v(x)=xln x, cujo derivado é
v'(x)=ln x + 1
Portanto
ddxl(x^xr) = e^xln x,(ln x + 1) = x^x,(ln x + 1)

Passo 4

Substituindo em y':
y' = x^x,(ln x + 1)1 + x^x

Resposta

y' = x^x(ln x + 1)1 + x^x

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