Calcule a derivada das seguintes funções:
(c) r(w)=3^{w} \log (w)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
r(w) = 3^{w}\,\log(w).
O conteúdo principal para resolver é:
  1. Regra do produto: se r(w)=f(w)g(w), então
r'(w)=f'(w)\,g(w)+f(w)\,g'(w).
  1. Derivada de 3^{w}:
\frac{d}{dw}3^{w}=3^{w}\,\ln(3).
  1. Derivada de \log(w) (logaritmo natural):
\frac{d}{dw}\log(w)=\frac{1}{w}.

Passo 2

Identificamos em r(w)=3^{w}\,\log(w) as funções
f(w)=3^{w} \quad\text{e}\quad g(w)=\log(w).

Passo 3

Calculamos a derivada de f(w)=3^{w}:
f'(w)=3^{w}\,\ln(3).

Passo 4

Calculamos a derivada de g(w)=\log(w):
g'(w)=\frac{1}{w}.

Passo 5

Aplicamos a regra do produto:
r'(w)=f'(w)\,g(w)+f(w)\,g'(w) =3^{w}\,\ln(3)\,\log(w)+3^{w}\,\frac{1}{w}.

Passo 6

Fatorando 3^{w}:
r'(w)=3^{w}\Bigl(\ln(3)\,\log(w)+\tfrac{1}{w}\Bigr).

Resposta

r'(w)=3^{w}\Bigl(\ln(3)\,\log(w)+\frac{1}{w}\Bigr).

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