Considere a função
. Analise as afirmações abaixo e assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
- ( ) A função está definida para todos os reais.
- ( ) O menor valor da função ocorre quando
.
- ( ) O maior valor da função é
.
- ( ) A função tende ao infinito quando
se aproxima de
.
- ( ) A função não possui valor máximo, pois tende ao infinito próximo a
, onde
.
- ( ) O maior valor de
é
.
- ( ) A função é definida para todo
e seu valor máximo ocorre em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para analisar sete afirmações sobre domínio, extremos e comportamento assintótico de
. Vamos precisar determinar o domínio de
, estudar os valores que
assume quando
e verificar onde ocorrem mínimos, máximos ou assíntotas.
Passo 2
Determinar o domínio de
. A única restrição é o denominador não poder ser zero, ou seja,
Logo,
não está definida em
.
Passo 3
Analisar os valores de
. Como
, temos
mas nunca atinge
, apenas chega arbitrariamente perto de
quando
. O valor máximo de
é
, que ocorre exatamente quando
.
Passo 4
Deduções sobre
:
- Quando
(ou seja ), , que é o menor valor de . - Quando
(isto é, ), , não havendo valor máximo finito.
Passo 5
Verificação das afirmações:
-
“A função está definida para todos os reais.”
Como, não está definida em .
→ F -
“O menor valor da função ocorre quando
.”
Neste casoe , que é o mínimo.
→ V -
“O maior valor da função é
.”
O valornão é um extremo; na verdade não tem máximo finito.
→ F -
“A função tende ao infinito quando
se aproxima de , com .”
Comoem , .
→ V -
“A função não possui valor máximo, pois tende ao infinito próximo a
, onde .”
Exatamente esse comportamento impede máximo finito.
→ V -
“O maior valor de
é .”
é o menor valor, não o maior.
→ F -
“A função é definida para todo
e seu valor máximo ocorre em .”
Já vimos que não está definida eme não há máximo em (lá ocorre o mínimo).
→ F
Resposta
F, V, F, V, V, F, F