Considere a função f(x)=\frac{3}{1-\cos (x)}. Analise as afirmações abaixo e assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
  • ( ) A função está definida para todos os reais.
  • ( ) O menor valor da função ocorre quando \cos (x)=-1.
  • ( ) O maior valor da função é f(x)=3.
  • ( ) A função tende ao infinito quando x se aproxima de 2 k \pi, \operatorname{com} k \in \mathbb{Z}.
  • ( ) A função não possui valor máximo, pois tende ao infinito próximo a x=2 k \pi, onde k \in \mathbb{Z}.
  • ( ) O maior valor de f(x) é \frac{3}{2}.
  • ( ) A função é definida para todo x \in \mathbb{R} e seu valor máximo ocorre em x=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3}{1-\cos(x)}
e pede para analisar sete afirmações sobre domínio, extremos e comportamento assintótico de f. Vamos precisar determinar o domínio de f, estudar os valores que 1-\cos(x) assume quando \cos(x)\in[-1,1] e verificar onde ocorrem mínimos, máximos ou assíntotas.

Passo 2

Determinar o domínio de f. A única restrição é o denominador não poder ser zero, ou seja,
1-\cos(x)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad \cos(x)\neq1 \quad\Longrightarrow\quad x\neq2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}.
Logo, f não está definida em x=2\pi k.

Passo 3

Analisar os valores de 1-\cos(x). Como \cos(x)\in[-1,1], temos
1-\cos(x)\in[0,2],
mas nunca atinge 0, apenas chega arbitrariamente perto de 0 quando \cos(x)\to1. O valor máximo de 1-\cos(x) é 2, que ocorre exatamente quando \cos(x)=-1.

Passo 4

Deduções sobre f(x)=3/(1-\cos(x)):
  • Quando 1-\cos(x)=2 (ou seja \cos(x)=-1), f(x)=3/2, que é o menor valor de f.
  • Quando 1-\cos(x)\to0^+ (isto é, x\to2\pi k), f(x)\to+\infty, não havendo valor máximo finito.

Passo 5

Verificação das afirmações:
  1. “A função está definida para todos os reais.”
    Como x\neq2\pi k, não está definida em 2\pi k.
    → F
  2. “O menor valor da função ocorre quando \cos(x)=-1.”
    Neste caso 1-\cos(x)=2 e f=3/2, que é o mínimo.
    → V
  3. “O maior valor da função é f(x)=3.”
    O valor 3 não é um extremo; na verdade f não tem máximo finito.
    → F
  4. “A função tende ao infinito quando x se aproxima de 2k\pi, com k\in\mathbb{Z}.”
    Como 1-\cos(x)\to0^+ em x\to2\pi k, f\to+\infty.
    → V
  5. “A função não possui valor máximo, pois tende ao infinito próximo a x=2k\pi, onde k\in\mathbb{Z}.”
    Exatamente esse comportamento impede máximo finito.
    → V
  6. “O maior valor de f(x) é \tfrac{3}{2}.”
    \tfrac{3}{2} é o menor valor, não o maior.
    → F
  7. “A função é definida para todo x\in\mathbb{R} e seu valor máximo ocorre em x=\pi.”
    Já vimos que não está definida em 2\pi k e não há máximo em \pi (lá ocorre o mínimo).
    → F

Resposta

F, V, F, V, V, F, F

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