Calcule a derivada das seguintes funções:
(e) h(y)=\frac{y}{1-e^{y}}\'

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(y)=\frac{y}{1 - e^{y}}.
O conteúdo principal aqui é aplicação da regra do quociente combinada com a derivada de e^{y} (regra da cadeia).

Passo 2

Definimos
u(y)=y, \quad v(y)=1 - e^{y}.
Então
u'(y)=1 \quad\text{e}\quad v'(y) = -e^{y}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
h'(y) =\frac{u'(y)\,v(y)-u(y)\,v'(y)}{\bigl(v(y)\bigr)^{2}} =\frac{1\cdot\bigl(1 - e^{y}\bigr)-y\cdot\bigl(-e^{y}\bigr)}{\bigl(1 - e^{y}\bigr)^{2}}.
No numerador:
1 - e^{y} + y\,e^{y} =1 + (y-1)e^{y}.
Logo,
h'(y) =\frac{1 - e^{y} + y\,e^{y}}{\bigl(1 - e^{y}\bigr)^{2}} =\frac{1 + (y-1)e^{y}}{\bigl(1 - e^{y}\bigr)^{2}}.

Resposta

h'(y) =\frac{1 - e^{y} + y\,e^{y}}{\bigl(1 - e^{y}\bigr)^{2}} \quad\bigl(\text{ou}\;\frac{1 + (y-1)e^{y}}{(1 - e^{y})^{2}}\bigr).

Exercícios relacionados