Para cada função f(x) dada abaixo:
  • Determine o domínio de f(x);
  • Utilize a definição de derivada para obter a função f^{\prime}(x);
    (d) f(x)=\frac{4}{\sqrt{1-x}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a derivada de f(x)=\frac{4}{\sqrt{1-x}} usando a definição de derivada. Para achar o domínio, exigimos que o radicando seja positivo e o denominador não nulo:
1 - x > 0 \quad\Longrightarrow\quad x < 1.
Portanto, o domínio de f é (-\infty,1).

Passo 2

Aplicamos a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
e substituímos f:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\frac{4}{\sqrt{1-(x+h)}}-\frac{4}{\sqrt{1-x}}}{h}.

Passo 3

Colocamos 4/h em evidência e racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada:
\frac{4}{h}\,\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x-h}}{\sqrt{1-x-h}\,\sqrt{1-x}} \cdot\frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x-h}}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x-h}} = \frac{4}{h}\,\frac{(1-x)-(1-x-h)} {\sqrt{1-x-h}\,\sqrt{1-x}\,(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x-h})}.
Como (1-x)-(1-x-h)=h, fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{4}{\sqrt{1-x-h}\,\sqrt{1-x}\,(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x-h})}.

Passo 4

Tomando o limite h\to0, temos \sqrt{1-x-h}\to\sqrt{1-x} e o denominador vira
\sqrt{1-x}\,\sqrt{1-x}\,\bigl(2\sqrt{1-x}\bigr) =2\,(1-x)\,\sqrt{1-x}.
Logo,
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{4}{\sqrt{1-x-h}\,\sqrt{1-x}\,(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x-h})} =\frac{4}{2\,(1-x)\,\sqrt{1-x}} =\frac{2}{(1-x)^{3/2}}.

Resposta

Domínio: (-\infty,1) f'(x)=\frac{2}{(1-x)^{3/2}}

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