Calcule a derivada das seguintes funções:
f(t)=e^t / 2(t^2+5 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=e^t/2(t^2+5t). O conteúdo envolvido é a derivação de um produto de funções, para o qual usaremos a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para e^t/2.

Passo 2

Definimos
u(t)=e^t/2, v(t)=t^2+5t
Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(t)=e^t/2cdottfrac12, v'(t)=2t+5

Passo 3

Aplicando a regra do produto, temos
f'(t)=u'(t),v(t)+u(t),v'(t) =l(tfrac12,e^t/2r)(t^2+5t) +e^t/2(2t+5)

Passo 4

Fatoramos e^t/2 e simplificamos os termos dentro do colchete:
f'(t) = e^t/2l[tfrac12(t^2+5t)+(2t+5)r] = e^t/2l(tfrac12t^2+tfrac52t+2t+5r) = e^t/2l(tfrac12t^2+tfrac92t+5r)
Observando que tfrac12t^2+tfrac92t+5=tfrac12(t^2+9t+10), chegamos à forma mais compacta.

Resposta

f'(t)=tfrac12,e^t/2,(t^2+9t+10)

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