Dada a função f(x)=(x^2+1)^2(x^2-x), calcular a derivada para x=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=l(x^2+1r)^2x^2-x
e pede f'(2).
O conteúdo principal é a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar potências compostas.

Passo 2

Vamos identificar numerador e denominador:
N(x) = l(x^2+1r)^2, D(x) = x^2-x
Derivando cada um:
N'(x) = 2l(x^2+1r)cdotddx(x^2+1) = 2l(x^2+1r)cdot(2x) = 4xl(x^2+1r),
D'(x) = ddxl(x^2-xr) = 2x-1

Passo 3

Aplicando a regra do quociente
f'(x) =N'(x),D(x);-;N(x),D'(x)l[D(x)r]^2 =4xl(x^2+1r),(x^2-x) ;-;l(x^2+1r)^2(2x-1) (x^2-x)^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=2. Primeiro calculemos as peças:
x^2+1l|x=2=4+1=5, x^2-xl|x=2=4-2=2, 2x-1l|x=2=4-1=3
Substituindo em f'(x):
numerador =4cdot2cdot5cdot2 ;-;5^2cdot3 =80-75=5, denominador =(2)^2=4
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f'(2)=54

Resposta

54

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