Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de quinta ordem com coeficientes constantes
Para resolver precisamos usar o método da equação característica: supomos
, obtemos um polinômio em
, encontramos suas raízes e então montamos a combinação linear de exponenciais, levando em conta multiplicidades.
Passo 2
Supondo
e substituindo na equação, obtemos a equação característica
Passo 3
Para fatorar o polinômio usamos agrupamento:
E notamos que
Logo a fatoração completa é
Passo 4
As raízes da característica são
Pela teoria, cada raiz dupla
gera termos
, e cada raiz simples gera termo
.
Passo 5
Juntando tudo, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.