Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
d^5 ud t^5+5 d^4 ud t^4-2 d^3 ud t^3-10 d^2 ud t^2+d ud t+5 u=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de quinta ordem com coeficientes constantes
d^5udt^5+5d^4udt^4-2d^3udt^3-10d^2udt^2+dudt+5u=0
Para resolver precisamos usar o método da equação característica: supomos u(t)=e^rt, obtemos um polinômio em r, encontramos suas raízes e então montamos a combinação linear de exponenciais, levando em conta multiplicidades.

Passo 2

Supondo u(t)=e^rt e substituindo na equação, obtemos a equação característica
r^5 + 5r^4 - 2r^3 - 10r^2 + r + 5 = 0

Passo 3

Para fatorar o polinômio usamos agrupamento:
r^5 +5r^4 -2r^3 -10r^2 +r +5 = (r^5+5r^4) +(-2r^3-10r^2)+(r+5)
= r^4(r+5) -2r^2(r+5) +1,(r+5) = (r+5)l(r^4 -2r^2 +1r)
E notamos que
r^4 -2r^2 +1 = (r^2 - 1)^2
Logo a fatoração completa é
(r+5)(r^2-1)^2 = (r+5)(r-1)^2(r+1)^2 = 0

Passo 4

As raízes da característica são
r = -5(mu<iplicidade 1), r = 1(mu<iplicidade 2), r = -1(mu<iplicidade 2)
Pela teoria, cada raiz dupla r0 gera termos l(C1 + C2,tr)e^r0 t, e cada raiz simples gera termo C,e^r t.

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral é
u(t) = C1 e^-5t + l(C2 + C3,tr)e^t + l(C4 + C5,tr)e^-t,
onde C1,dots,C5 são constantes arbitrárias.

Resposta

u(t) = C1 e^-5t + l(C2 + C3,tr)e^t + l(C4 + C5,tr)e^-t

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