Calcule a derivada das seguintes funcoés:
f(x)=5 x^2+2 x+3x^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional f(x)=\frac{5x{2}+2x+3}{x{2}+1}. O conteúdo é derivada de quociente, então vamos precisar do numerador u(x)=5x^{2}+2x+3 e do denominador v(x)=x^{2}+1 e de suas derivadas.

Passo 2

Derivando cada parte: u(x)=5x^{2}+2x+3 implica u’(x)=10x+2; v(x)=x^{2}+1 implica v’(x)=2x.

Passo 3

Aplicar a regra do quociente, que diz:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Substituir u, u’, v e v’ na fórmula e expandir o numerador:
(10x+2)(x^2+1)-(5x^2+2x+3)(2x)

Passo 5

Calcular essa expansão e simplificar:
10x^3+10x+2x^2+2; -;(10x^3+4x^2+6x) = -2x^2+4x+2

Passo 6

Logo, a derivada é:
f'(x)=-2x^2+4x+2(x^2+1)^2

Resposta

-2x^2+4x+2(x^2+1)^2

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