Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=(7 x^2+6 x)^7(3 x-1)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (7x^2 + 6x)^7,(3x - 1)^4.
O conteúdo usado será a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Seja
u(x) = (7x^2 + 6x)^7
e
v(x) = (3x - 1)^4.
Pela regra do produto, temos
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Para u(x) = [g(x)]^7 com g(x)=7x^2+6x, aplicamos a regra da cadeia:
u'(x) = 7,[g(x)]^6 cdot g'(x) = 7,(7x^2+6x)^6,(14x+6)

Passo 4

Para v(x) = [h(x)]^4 com h(x)=3x-1, aplicamos a regra da cadeia:
v'(x) = 4,[h(x)]^3 cdot h'(x) = 4,(3x-1)^3 cdot 3 = 12,(3x-1)^3

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv', obtemos
f'(x) = 7,(14x+6),(7x^2+6x)^6,(3x-1)^4 +12,(7x^2+6x)^7,(3x-1)^3

Passo 6

Fatorando (7x^2+6x)^6,(3x-1)^3 em ambos os termos:
f'(x) = (7x^2+6x)^6,(3x-1)^3 l[7,(14x+6)(3x-1)+12,(7x^2+6x)r]
Dentro do colchete:
7,(14x+6)(3x-1)=294x^2+28x-42, 12,(7x^2+6x)=84x^2+72x,
logo a soma é
294x^2+28x-42 +84x^2+72x =378x^2+100x-42

Resposta

f'(x) = (7x^2+6x)^6,(3x-1)^3,(378x^2+100x-42)

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