Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de terceira ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em
.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação diferencial obtemos a equação característica
Passo 3
Procuramos raízes inteiras possíveis dentre os divisores de
, ou seja
. Testando
:
logo
é raiz e
é fator do polinômio.
Passo 4
Para achar os outros fatores, dividimos
por
. A divisão polinomial (ou sintética) dá
Passo 5
Agora resolvemos a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Temos três raízes reais distintas:
Para cada raiz
, a solução fundamental é
. A solução geral é a combinação linear dessas:
Resposta
em que
,
e
são constantes arbitrárias.