Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
y^prime prime prime+5 y^prime prime+6 y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de terceira ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes
y^primeprimeprime + 5,y^primeprime + 6,y' + 2,y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^r x. Substituindo na equação diferencial obtemos a equação característica
r^3 + 5r^2 + 6r + 2 = 0

Passo 3

Procuramos raízes inteiras possíveis dentre os divisores de 2, ou seja r=pm1,pm2. Testando r=-1:
(-1)^3 + 5(-1)^2 + 6(-1) + 2 = -1 + 5 -6 + 2 = 0,
logo r=-1 é raiz e (r+1) é fator do polinômio.

Passo 4

Para achar os outros fatores, dividimos
r^3 + 5r^2 + 6r + 2
por (r+1). A divisão polinomial (ou sintética) dá
r^3 + 5r^2 + 6r + 2 = (r+1),(r^2 + 4r + 2)

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática
r^2 + 4r + 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot22 = -4 pm raiz16-82 = -2 pm raiz2

Passo 6

Temos três raízes reais distintas:
r1 = -1, r2 = -2 + raiz2, r3 = -2 - raiz2
Para cada raiz ri, a solução fundamental é e^ri x. A solução geral é a combinação linear dessas:

Resposta

y(x) = C1,e^-x ;+; C2,e^(-2+raiz2)x ;+; C3,e^(-2-raiz2)x,
em que C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

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