Calcule a derivada das seguintes funções:
f(z)=8 z^{3}-\frac{1}{3 z^{5}} \sqrt[7]{z^{2}-3 z}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=8z^{3}-\frac{1}{3z^{5}}\sqrt[7]{z^{2}-3z}
e pede f'(z). Aqui vamos usar as regras de derivada da soma, derivada de potência e a combinação da regra do produto com a regra da cadeia para a segunda parcela.

Passo 2

Reescrevemos a segunda parcela como produto de duas funções mais simples:
\frac{1}{3z^{5}}\sqrt[7]{z^{2}-3z} =\frac{1}{3}\,(z^{2}-3z)^{\frac{1}{7}}\;z^{-5}.
Chamemos
u(z)=(z^{2}-3z)^{\frac{1}{7}}, \quad v(z)=z^{-5},
de modo que a parcela é \tfrac{1}{3}u(z)v(z).

Passo 3

Derivando o termo 8z^{3} pela potência, obtemos
\frac{d}{dz}\bigl(8z^{3}\bigr)=24z^{2}.

Passo 4

Agora calculamos u'(z) e v'(z). Para u(z)=(z^{2}-3z)^{1/7} aplicamos a regra da cadeia:
u'(z) =\frac{1}{7}(z^{2}-3z)^{\frac{1}{7}-1}\cdot(2z-3) =\frac{2z-3}{7}\,(z^{2}-3z)^{-\frac{6}{7}}.
Para v(z)=z^{-5} usamos a potência:
v'(z)=-5\,z^{-6}.

Passo 5

Como a segunda parcela de f(z) é \tfrac{1}{3}u(z)v(z), sua derivada é
\frac{d}{dz}\Bigl(\tfrac{1}{3}u\,v\Bigr) =\frac{1}{3}\bigl(u'v + u\,v'\bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{2z-3}{7}(z^{2}-3z)^{-\frac{6}{7}}\,z^{-5} + (z^{2}-3z)^{\frac{1}{7}}\cdot(-5\,z^{-6})\Bigr).
Isto é,
\frac{d}{dz}\Bigl(\tfrac{1}{3}u\,v\Bigr) =\frac{2z-3}{21\,z^{5}\,(z^{2}-3z)^{\frac{6}{7}}} -\frac{5\,(z^{2}-3z)^{\frac{1}{7}}}{3\,z^{6}}.

Passo 6

Finalmente, juntando as duas derivadas com o sinal menos da fórmula original,
f'(z) =24z^{2} -\Bigl[\, \frac{2z-3}{21\,z^{5}\,(z^{2}-3z)^{\frac{6}{7}}} -\frac{5\,(z^{2}-3z)^{\frac{1}{7}}}{3\,z^{6}} \Bigr].
Podemos reescrever distribuindo o sinal negativo:
f'(z) =24z^{2} -\frac{2z-3}{21\,z^{5}\,(z^{2}-3z)^{\frac{6}{7}}} +\frac{5\,(z^{2}-3z)^{\frac{1}{7}}}{3\,z^{6}}.

Resposta

\boxed{ f'(z) =24z^{2} -\frac{2z-3}{21\,z^{5}\,(z^{2}-3z)^{\tfrac{6}{7}}} +\frac{5\,(z^{2}-3z)^{\tfrac{1}{7}}}{3\,z^{6}} }.

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