Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=ln (1x+1x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = lnl(1x + 1x^2r)
O conteúdo envolve derivada de função logarítmica e regra da cadeia. Também vamos usar propriedades de logaritmo para simplificar antes de derivar.

Passo 2

Aplicando a propriedade ln(a/b)=ln a-ln b e combinando termos:
1x + 1x^2 = x+1x^2
logo
f(x) = ln!l(tfracx+1x^2r) = ln(x+1) - lnl(x^2r) = ln(x+1) - 2ln(x)

Passo 3

Derivando termo a termo, sabendo que tfracddxln(u)=u'/u:
ddxln(x+1) = 1x+1, ddxl[2ln(x)r] = 2cdot1x
Portanto,
f'(x) = 1x+1 - 2cdot1x

Passo 4

Para deixar num só quociente, coloque sobre o mesmo denominador x(x+1):
f'(x) = 1x+1 - 2x = x - 2(x+1)x(x+1) = -x+2x(x+1)

Resposta

f'(x) = 1x+1 - 2x = -x+2x(x+1)

Exercícios relacionados