Estude a convergência das séries. Obs. Escreva o teste de convergência utilizado em cada série.
sumn=1^+infty 3^n2^n+4^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty 3^n2^n + 4^n
O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos, e vamos usar o teste da comparação direta com uma série geométrica.

Passo 2

Para grandes n, no denominador o termo 4^n domina 2^n, pois 4^ngg2^n. Logo
3^n2^n + 4^n ;sim; 3^n4^n ;=;l(34r)^n
Isso sugere comparar nossa série com a geométrica sum (3/4)^n.

Passo 3

Como para todo n vale
2^n + 4^n ;>;4^n Longrightarrow 3^n2^n+4^n ;<; 3^n4^n ;=;l(tfrac34r)^n,
e sabemos que a série geométrica sumn=1^infty (3/4)^n converge (razão 3/4<1), concluímos pela comparação direta que
sumn=1^infty 3^n2^n+4^n
também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a série geométrica de razão tfrac34.

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