Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=2 x \cot g x+x^{2} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x\cot x + x^{2}\tan x
e pede para calcular a derivada \,f'(x).\n
Informações relevantes fornecidas:\n
  • A função é a soma de dois produtos: 2x\cot x e x^{2}\tan x.\n
  • Precisamos aplicar regras de derivação (regra do produto, e derivadas das funções trigonométricas \tan e \cot).\n
    Não vamos resolver nada ainda — só identificamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Regra do produto (lembrando passo a passo):\n
Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, a derivada do produto u(x)v(x) é dada por
(u v)' = u'v + u v'.
Aqui cada símbolo significa:\n
  • u(x) e v(x): as duas funções que estão multiplicando;\n
  • u'(x) e v'(x): as derivadas de u e v em relação a x.\n
    Exemplo pequeno para fixar: se u=x^2 e v=\sin x, então (x^2\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x.\n
    Vamos usar essa regra em cada um dos dois termos de f(x).

Passo 3

Derivadas das funções trigonométricas envolvidas — vamos deduzir com cuidado para entender bem:\n
  1. Derivada de \tan x.\n
    \tan x pode ser escrita como \dfrac{\sin x}{\cos x}. Usando a regra do quociente:
\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x}.
Sabemos que (\sin x)'=\cos x e (\cos x)'=-\sin x. Substituindo:
\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}.
Como \cos^2 x+\sin^2 x=1, obtemos
(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
  1. Derivada de \cot x.\n
    \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Usando a regra do quociente novamente:
\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'=\frac{(\cos x)'\sin x - \cos x(\sin x)'}{\sin^2 x}.
Com (\cos x)'=-\sin x e (\sin x)'=\cos x, temos
\frac{-\sin x\cdot\sin x - \cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x}=\frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin^2 x}.
Portanto
(\cot x)'=-\csc^2 x.
Observação útil: \operatorname{sec}^2 x = 1+\tan^2 x e \csc^2 x = 1+\cot^2 x, se você preferir escrever assim.

Passo 4

Agora diferenciamos o primeiro termo 2x\cot x usando a regra do produto.\n
Definimos u(x)=2x e v(x)=\cot x.\n
Calculamos as derivadas individuais:\n
u'(x)=(2x)'=2,
v'(x)=(\cot x)'=-\csc^2 x.
Aplicando (uv)'=u'v+uv', obtemos
\big(2x\cot x\big)' = 2\cdot\cot x + 2x\cdot(-\csc^2 x).
Simplificando os sinais,
\big(2x\cot x\big)' = 2\cot x - 2x\csc^2 x.

Passo 5

Agora diferenciamos o segundo termo x^{2}\tan x usando a regra do produto.\n
Definimos u(x)=x^{2} e v(x)=\tan x.\n
As derivadas são:
u'(x)=(x^2)'=2x,
v'(x)=(\tan x)'=\operatorname{sec}^2 x.
Aplicando a regra do produto,
\big(x^{2}\tan x\big)' = 2x\cdot\tan x + x^{2}\cdot\operatorname{sec}^2 x.

Passo 6

Somamos as derivadas dos dois termos (a derivada da soma é a soma das derivadas):\n
f'(x)=\big(2x\cot x\big)' + \big(x^{2}\tan x\big)'.
Substituindo os resultados dos passos anteriores,
f'(x)=\big(2\cot x - 2x\csc^2 x\big) + \big(2x\tan x + x^{2}\operatorname{sec}^2 x\big).
Agrupando os termos,
f'(x)=2\cot x - 2x\csc^2 x + 2x\tan x + x^{2}\operatorname{sec}^2 x.
Se quiser, pode reescrever usando \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x e \csc^2 x=1+\cot^2 x para uma forma alternativa; mas a expressão acima já é a forma padrão e direta.

Resposta

f'(x)=2\cot x - 2x\csc^2 x + 2x\tan x + x^{2}\operatorname{sec}^2 x

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