Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.\n
Informações relevantes fornecidas:\n
Informações relevantes fornecidas:\n
- A função é a soma de dois produtos:
e .\n - Precisamos aplicar regras de derivação (regra do produto, e derivadas das funções trigonométricas
e ).\n
Não vamos resolver nada ainda — só identificamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Regra do produto (lembrando passo a passo):\n
Se e
são funções diferenciáveis, a derivada do produto
é dada por
Se
Aqui cada símbolo significa:\n
-
e : as duas funções que estão multiplicando;\n -
e : as derivadas de e em relação a .\n
Exemplo pequeno para fixar: see , então .\n
Vamos usar essa regra em cada um dos dois termos de.
Passo 3
Derivadas das funções trigonométricas envolvidas — vamos deduzir com cuidado para entender bem:\n
- Derivada de
.\n
pode ser escrita como . Usando a regra do quociente:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Como
, obtemos
- Derivada de
.\n
. Usando a regra do quociente novamente:
Com
e
, temos
Portanto
Observação útil:
e
, se você preferir escrever assim.
Passo 4
Agora diferenciamos o primeiro termo
usando a regra do produto.\n
Definimos e
.\n
Calculamos as derivadas individuais:\n
Definimos
Calculamos as derivadas individuais:\n
Aplicando
, obtemos
Simplificando os sinais,
Passo 5
Agora diferenciamos o segundo termo
usando a regra do produto.\n
Definimos e
.\n
As derivadas são:
Definimos
As derivadas são:
Aplicando a regra do produto,
Passo 6
Somamos as derivadas dos dois termos (a derivada da soma é a soma das derivadas):\n
Substituindo os resultados dos passos anteriores,
Agrupando os termos,
Se quiser, pode reescrever usando
e
para uma forma alternativa; mas a expressão acima já é a forma padrão e direta.