Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=(2 x+1)\left(3 x^{2}+6\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=(2x+1)(3x^{2}+6).
Informações dadas: temos duas expressões multiplicadas, (2x+1) e (3x^{2}+6). A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x. Não há outras condições explícitas (domínio, pontos específicos etc.).

Passo 2

Vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas para usar uma regra que funciona bem aqui. Definimos
u(x)=2x+1\quad\text{e}\quad v(x)=3x^{2}+6.
A regra que vamos usar (regra do produto) diz o seguinte:
(uv)' = u'v + uv'.
Explicando essa fórmula: se uma função f é produto de duas funções u e v, a derivada de f é a soma de (derivada de u vezes v) com ( u vezes derivada de v). Aqui u' significa a derivada de u em relação a x, e v' a derivada de v.

Passo 3

Calcular as derivadas de u e v separadamente usando a regra da potência e a regra da derivada de soma/constante.
Regra da potência (explicação curta): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Para termos lineares ax+b, a derivada é simplesmente o coeficiente a; para constantes a derivada é 0.
Aplicando:
u(x)=2x+1 \implies u'(x)=2,
pois a derivada de 2x é 2 e a de 1 é 0.
v(x)=3x^{2}+6 \implies v'(x)=6x,
pois a derivada de 3x^{2} é 3\cdot 2 x^{1}=6x e a de 6 é 0.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=2\bigl(3x^{2}+6\bigr)+(2x+1)\bigl(6x\bigr).

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo (contabilidade das multiplicações e soma de termos semelhantes):
Primeiro termo:
2\bigl(3x^{2}+6\bigr)=6x^{2}+12.
Segundo termo:
(2x+1)(6x)=6x\cdot 2x + 6x\cdot 1 = 12x^{2}+6x.
Somando os dois termos:
f'(x)=6x^{2}+12 + 12x^{2}+6x.
Agrupando termos semelhantes:
f'(x)=(6x^{2}+12x^{2}) + 6x + 12 = 18x^{2}+6x+12.

Passo 6

Como conferência rápida, podemos expandir a função original e derivar termo a termo para checar:
Expandindo (2x+1)(3x^{2}+6):
f(x)=6x^{3}+3x^{2}+12x+6.
Derivando termo a termo (potência por potência):
f'(x)=18x^{2}+6x+12,
que coincide com o resultado anterior.
Podemos também factorar um fator comum se quisermos uma forma mais compacta:
f'(x)=6\bigl(3x^{2}+x+2\bigr).

Resposta

f'(x)=18x^{2}+6x+12

Exercícios relacionados