Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: temos duas expressões multiplicadas,
e
. A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
. Não há outras condições explícitas (domínio, pontos específicos etc.).
Passo 2
Vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas para usar uma regra que funciona bem aqui. Definimos
A regra que vamos usar (regra do produto) diz o seguinte:
Explicando essa fórmula: se uma função
é produto de duas funções
e
, a derivada de
é a soma de (derivada de
vezes
) com (
vezes derivada de
). Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
separadamente usando a regra da potência e a regra da derivada de soma/constante.
Regra da potência (explicação curta): a derivada de
é
. Para termos lineares
, a derivada é simplesmente o coeficiente
; para constantes a derivada é
.
Aplicando:
pois a derivada de
é
e a de
é
.
pois a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão passo a passo (contabilidade das multiplicações e soma de termos semelhantes):
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois termos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Como conferência rápida, podemos expandir a função original e derivar termo a termo para checar:
Expandindo
:
Derivando termo a termo (potência por potência):
que coincide com o resultado anterior.
Podemos também factorar um fator comum se quisermos uma forma mais compacta: