Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}.
Informações relevantes dadas: a função é escrita como a diferença de duas potências de x com coeficientes constantes. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

O que significa “derivar” aqui? A derivada f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em relação a x — geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto. A definição pela diferença de quocientes é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x. Na prática de prova, usamos regras que derivam desta definição e que tornam o cálculo muito mais rápido (e que eu vou te ensinar a seguir).

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
  1. Regra da soma/diferença: a derivada da soma ou diferença de funções é a soma ou diferença das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x). Mesmo para diferença: (u-v)'=u'-v'.
  2. Regra do fator constante: se u(x)=c\cdot v(x) com c constante, então u'(x)=c\cdot v'(x). Ex.: a constante sai da derivada.
  3. Regra da potência (a mais importante aqui): para v(x)=x^{n} com inteiro n, temos
v'(x)=n x^{n-1}.
Isto significa: para derivar uma potência, multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1. Por exemplo, se v(x)=x^{3} então v'(x)=3x^{2}. As variáveis: x é a variável independente, n é o expoente.
Usando essas regras combinadas, conseguimos derivar f termo a termo.

Passo 4

Derivando o primeiro termo \displaystyle \frac{x^{4}}{4}.
Primeiro reescrevo com o fator constante explícito:
\frac{x^{4}}{4}=\frac{1}{4}\,x^{4}.
Aplicando a regra do fator constante e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{4}x^{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{d}{dx}\!(x^{4})=\frac{1}{4}\cdot(4x^{3}).
Agora simplifico o produto:
\frac{1}{4}\cdot(4x^{3})=x^{3}.
Logo a derivada do primeiro termo é x^{3}.

Passo 5

Derivando o segundo termo \displaystyle -\frac{x^{2}}{2}.
Reescrevo com o fator constante:
-\frac{x^{2}}{2}=-\frac{1}{2}\,x^{2}.
Aplico a regra do fator constante e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2}x^{2}\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\!(x^{2})=-\frac{1}{2}\cdot(2x).
Simplificando:
-\frac{1}{2}\cdot(2x)=-x.
Portanto a derivada do segundo termo é -x.

Passo 6

Agora uso a regra da soma/diferença para combinar as derivadas dos termos (derivo termo a termo e subtraio):
f'(x)=\underbrace{x^{3}}_{\text{derivada de }x^{4}/4}\;-\;\underbrace{x}_{\text{derivada de }x^{2}/2}.
Posso também fatorar se quiser ver forma alternativa:
f'(x)=x^{3}-x = x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1),
o que é útil para identificar onde f'(x)=0 (pontos críticos), mas a forma mais direta para a resposta é x^{3}-x.

Resposta

f'(x)=x^{3}-x

Exercícios relacionados