Calcule a derivada das seguintes funções: f(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}.
Informações relevantes dadas: a função é escrita como a diferença de duas potências de x com coeficientes constantes. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.
Passo 2
O que significa “derivar” aqui? A derivada f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em relação a x — geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto. A definição pela diferença de quocientes é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x. Na prática de prova, usamos regras que derivam desta definição e que tornam o cálculo muito mais rápido (e que eu vou te ensinar a seguir).
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
Regra da soma/diferença: a derivada da soma ou diferença de funções é a soma ou diferença das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x). Mesmo para diferença: (u-v)'=u'-v'.
Regra do fator constante: se u(x)=c\cdot v(x) com c constante, então u'(x)=c\cdot v'(x). Ex.: a constante sai da derivada.
Regra da potência (a mais importante aqui): para v(x)=x^{n} com inteiro n, temos
v'(x)=n x^{n-1}.
Isto significa: para derivar uma potência, multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1. Por exemplo, se v(x)=x^{3} então v'(x)=3x^{2}. As variáveis: x é a variável independente, n é o expoente.
Usando essas regras combinadas, conseguimos derivar f termo a termo.
Passo 4
Derivando o primeiro termo \displaystyle \frac{x^{4}}{4}.
Primeiro reescrevo com o fator constante explícito:
\frac{x^{4}}{4}=\frac{1}{4}\,x^{4}.
Aplicando a regra do fator constante e a regra da potência: