Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x-x^{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \displaystyle f(x)=x-x^{7}.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=x-x^{7}.
Pergunta: encontrar \displaystyle f'(x), a derivada dessa função em termos de x.

Passo 2

Propriedade que vamos usar (linearidade da derivada):
\frac{d}{dx}\big(u(x)\pm v(x)\big)=u'(x)\pm v'(x).
Isso significa que a derivada de uma diferença é a diferença das derivadas. Aqui u(x)=x e v(x)=x^{7}.

Passo 3

Derivada de \displaystyle x (usando a definição por limite):
\frac{d}{dx}x=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=\lim_{h\to0}1=1.
Portanto \displaystyle \frac{d}{dx}x=1.

Passo 4

Regra do poder (power rule) para potências inteiras positivas — resultado e justificativa curta:
Se \displaystyle n\in\mathbb{N}, então
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Justificativa (esquemática): comece da diferença quociente
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}.
Expandindo (x+h)^{n} pelo Teorema Binomial obtemos uma soma onde todos os termos têm fator h, e após dividir por h e fazer h\to0 só permanece o termo correspondente a k=1, que é n x^{n-1}. Assim a derivada é n x^{n-1}.

Passo 5

Aplicando a regra do poder ao termo \displaystyle x^{7}:
\frac{d}{dx}x^{7}=7x^{6}.

Passo 6

Agora juntamos tudo usando a linearidade (Passo 2):
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x-x^{7}\big)=\frac{d}{dx}x-\frac{d}{dx}x^{7}=1-7x^{6}.

Passo 7

Pequena checagem (exemplo): para \displaystyle x=1 temos \displaystyle f'(1)=1-7\cdot1^{6}=1-7=-6, faz sentido como verificação rápida.

Resposta

\displaystyle f'(x)=1-7x^{6}

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