Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é .
Pergunta: encontrar , a derivada dessa função em termos de
.
Informações dadas: a função é
Pergunta: encontrar
Passo 2
Propriedade que vamos usar (linearidade da derivada):
Isso significa que a derivada de uma diferença é a diferença das derivadas. Aqui
e
.
Passo 3
Derivada de
(usando a definição por limite):
Portanto
.
Passo 4
Regra do poder (power rule) para potências inteiras positivas — resultado e justificativa curta:
Se , então
Se
Justificativa (esquemática): comece da diferença quociente
Expandindo
pelo Teorema Binomial obtemos uma soma onde todos os termos têm fator
, e após dividir por
e fazer
só permanece o termo correspondente a
, que é
. Assim a derivada é
.
Passo 5
Aplicando a regra do poder ao termo
:
Passo 6
Agora juntamos tudo usando a linearidade (Passo 2):
Passo 7
Pequena checagem (exemplo): para
temos
, faz sentido como verificação rápida.