Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=5 x^{6}+2

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada. Informações relevantes:
f(x)=5 x^{6}+2.
A pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

O que é derivada, em linguagem simples? A derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x. Definição por limite:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. Essa fórmula diz: subimos um pouquinho em x, vemos quanto f mudou, dividimos pela mudança em x e fazemos h tender a zero para achar a inclinação instantânea.

Passo 3

Regras úteis que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade (derivada de soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x), então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Constante fatorada: se g(x)=c\cdot u(x) com c constante, então g'(x)=c\cdot u'(x).
  • Derivada de constante: se c é constante, então \dfrac{d}{dx}c=0.
Essas regras permitem diferenciar termo a termo e puxar constantes para fora da derivada.

Passo 4

Regra do expoente (regra do poder) para expoentes inteiros positivos: para n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Pequena justificativa para n=6 (para entender por que funciona): usando o binômio,
(x+h)^{6}=x^{6}+6x^{5}h+15x^{4}h^{2}+\cdots +h^{6}.
Substituindo na definição do quociente de diferença:
\frac{(x+h)^{6}-x^{6}}{h}=6x^{5}+15x^{4}h+\cdots +h^{5}.
Ao tomar o limite h\to 0, todos os termos que têm h desaparecem, sobrando 6x^{5}. Assim \dfrac{d}{dx}x^{6}=6x^{5}.

Passo 5

Aplicando as regras ao primeiro termo da função: temos 5x^{6}. Pela regra da constante fatorada, a derivada é:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{6}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr).
Usando a regra do expoente para \dfrac{d}{dx}x^{6}=6x^{5}, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{6}\bigr)=5\cdot 6x^{5}=30x^{5}.

Passo 6

Derivada do segundo termo da função: 2 é constante, então
\frac{d}{dx}(2)=0.

Passo 7

Agora aplicamos a linearidade: a derivada de f(x)=5x^{6}+2 é a soma das derivadas dos termos que calculamos nos passos anteriores — a derivada de 5x^{6} (Passo 5) e a derivada de 2 (Passo 6).

Resposta

f'(x)=30x^{5}

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