Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada. Informações relevantes:
A pergunta é: calcular
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
O que é derivada, em linguagem simples? A derivada
mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Definição por limite:
Aqui
é um pequeno incremento em
. Essa fórmula diz: subimos um pouquinho em
, vemos quanto
mudou, dividimos pela mudança em
e fazemos
tender a zero para achar a inclinação instantânea.
Passo 3
Regras úteis que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade (derivada de soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
, então . - Constante fatorada: se
com constante, então . - Derivada de constante: se
é constante, então .
Essas regras permitem diferenciar termo a termo e puxar constantes para fora da derivada.
Passo 4
Regra do expoente (regra do poder) para expoentes inteiros positivos: para
inteiro positivo,
Pequena justificativa para
(para entender por que funciona): usando o binômio,
Substituindo na definição do quociente de diferença:
Ao tomar o limite
, todos os termos que têm
desaparecem, sobrando
. Assim
.
Passo 5
Aplicando as regras ao primeiro termo da função: temos
. Pela regra da constante fatorada, a derivada é:
Usando a regra do expoente para
, obtemos
Passo 6
Derivada do segundo termo da função:
é constante, então
Passo 7
Agora aplicamos a linearidade: a derivada de
é a soma das derivadas dos termos que calculamos nos passos anteriores — a derivada de
(Passo 5) e a derivada de
(Passo 6).