Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x integral2^x^2 sin (t^2) d t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=xintegral2^x^2sinl(t^2r),dt
O conteúdo principal que vamos usar é a regra do produto e o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=xcdot g(x),
onde
g(x)=integral2^x^2sinl(t^2r),dt
Pela regra do produto,
f'(x)=1cdot g(x)+xcdot g'(x) =integral2^x^2sinl(t^2r),dt +x,g'(x)

Passo 3

Para calcular g'(x), aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo à função limite superior x^2 e em seguida a regra da cadeia:
g'(x) =ddxl[integral2^x^2sinl(t^2r),dtr] =sinl((x^2)^2r)cdotddx(x^2) =sinl(x^4r)cdot 2x

Passo 4

Substituindo g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =integral2^x^2sinl(t^2r),dt +xcdotl(2xsin(x^4)r) =integral2^x^2sinl(t^2r),dt +2x^2sinl(x^4r)

Resposta

f'(x) =integral2^x^2sinl(t^2r),dt +2x^2sinl(x^4r)

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