Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=ln (1+x1-x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln!gl(1+x1-xgr)
O que vamos usar aqui é a regra da derivada do logaritmo natural ln(u), que é
ddxln(u)=u'u,
e, para facilitar, podemos também aplicar a propriedade de logaritmos
ln!gl(abgr)=ln(a)-ln(b)

Passo 2

Reescrevendo a função usando a propriedade do logaritmo em soma e diferença:
f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)

Passo 3

Agora derivamos cada termo separadamente, lembrando que
ddxln(1+x)=11+x
e que, pelo efeito cadeia,
ddx[-ln(1-x)]=--11-x=11-x

Passo 4

Somando as duas frações:
f'(x)=11+x+11-x =(1-x)+(1+x)(1+x)(1-x) =21-x^2

Resposta

f'(x)=21-x^2

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