( 2.5 pontos) Obtenha uma série de potências para a função f(x)=3 x^24-x centrada em a=0 e determine o seu intervalo de convergência Ic.
CÁLCULO:

Passo 1

O enunciado pede obter uma série de potências para f(x)=3x^24-x centrada em 0 e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências e vamos usar a expansão de série geométrica 11-u=sumn=0^infty u^n, válida para lvert urvert<1.

Passo 2

Reescrevemos 14-x de modo a expor o tipo geométrico. Note que
14-x=14,11-x4,
e podemos aplicar a série geométrica em u=x4.

Passo 3

Aplicando 11-u=sumn=0^infty u^n com u=x4 obtemos
14-x =14sumn=0^inftyl(x4r)^n =sumn=0^infty14^n+1,x^n

Passo 4

Multiplicando essa expansão por 3x^2 temos
f(x)=3x^24-x =3x^2sumn=0^infty14^n+1,x^n =sumn=0^infty34^n+1,x^n+2
Se preferir reindexar, basta colocar m=n+2 para chegar em
f(x)=summ=2^infty34^m-1,x^m

Passo 5

O critério de convergência da série geométrica exige l|tfracx4r|<1, ou seja lvert xrvert<4. Como a função original tem polo em x=4, não há convergência nos extremos.

Resposta

A série de potências centrada em 0 é
f(x)=sumn=0^infty34^n+1,x^n+2
e o intervalo de convergência é
Ic = (-4,4)

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