( 2.5 pontos) Obtenha uma série de potências para a função centrada em e determine o seu intervalo de convergência .
CÁLCULO:
Passo 1
O enunciado pede obter uma série de potências para centrada em e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências e vamos usar a expansão de série geométrica , válida para .
Passo 2
Reescrevemos de modo a expor o tipo geométrico. Note que
e podemos aplicar a série geométrica em .
Passo 3
Aplicando com obtemos
Passo 4
Multiplicando essa expansão por temos
Se preferir reindexar, basta colocar para chegar em
Passo 5
O critério de convergência da série geométrica exige , ou seja lvert xrvert<4. Como a função original tem polo em x=4, não há convergência nos extremos.