EXTRA: (2.0 pontos) Para que valores de alpha a série converge?
sumn=1^+infty n^3+3 n^2+2(2 n^2+1) cdot n^alpha-1
CÁLCULO:

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de alpha a série
sumn=1^+infty n^3+3 n^2+2l(2 n^2+1r),n^alpha-1
converge. O conteúdo aqui é séries numéricas, mais especificamente usar o teste de comparação assintótica (ou comparação limite) e a convergência de séries do tipo sum 1/n^p.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral
an=n^3+3 n^2+2l(2 n^2+1r),n^alpha-1
para n muito grande, pois a convergência de séries numéricas depende do comportamento assintótico de an.

Passo 3

Identificamos os termos de maior ordem no numerador e no denominador:
o numerador cresce como n^3 e o fator 2n^2+1 no denominador cresce como 2n^2. Assim,
ansim n^32n^2,n^alpha-1 =12,n^3-(2+alpha-1) =12,n^2-alpha

Passo 4

A série sum an comporta-se como a série p-série
sumn=1^infty12,n^2-alpha ;=;12sumn=1^infty1n^,alpha-2
Sabemos que a p-série sum1/n^p converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=alpha-2, logo a convergência exige
alpha-2>1 Longrightarrow alpha>3

Resposta

A série converge para alpha>3.

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