Encontrar uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral seja:
y=C1 e^t cos x+C2 e^t sen x+C3 t e^t cos x+ C4 t e^t sen x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes, cuja solução geral seja
y(t)=C1e^tcos t + C2e^tsin t + C3,t,e^tcos t + C4,t,e^tsin t
O conteúdo aqui é o uso de raízes complexas do polinômio característico e sua multiplicidade.

Passo 2

Como aparecem as soluções e^tcos t e e^tsin t, deduzimos que o polinômio característico tem raízes
r = 1 pm i
Além disso, como surgem também t,e^tcos t e t,e^tsin t, concluímos que cada uma dessas raízes tem multiplicidade 2.

Passo 3

O polinômio característico é então
(r - (1+i))^2,(r - (1-i))^2 ;=;l[(r-1)^2+1r]^2 ;=;(r^2-2r+2)^2
Em operador diferencial D=tfracddt, a equação fica
(D^2-2D+2)^2,y=0

Passo 4

Basta expandir l(r^2-2r+2r)^2:
(r^2-2r+2)^2 = r^4 -4r^3 +8r^2 -8r +4
Logo, em termos de derivadas, a equação é
y^(4) -4y^(3) +8y'' -8y' +4y = 0

Resposta

y^(4) -4y''' +8y'' -8y' +4y = 0

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