Resolver o problema de valor inicial dado.
y^(4)+y=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)= -1, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O problema pede a solução da EDO linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) + y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=-1, y'''(0)=0
Para resolver vamos (i) obter a equação característica, (ii) escrever a solução geral real e (iii) ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A equação característica é
r^4 + 1 = 0,
cuja solução são as raízes
r = e^ipi/4,;e^3ipi/4,;e^5ipi/4,;e^7ipi/4
Agrupando em conjugados e usando alpha = tfrac1raiz2, obtemos duas combinações reais:
r = pml(alpha + i,alphar), r = pml(-alpha + i,alphar)

Passo 3

A solução geral real pode ser escrita como
y(x) = e^alpha xl(Acos(alpha x)+Bsin(alpha x)r) + e^-alpha xl(Ccos(alpha x)+Dsin(alpha x)r)

Passo 4

Impondo as condições iniciais, calculamos
  1. y(0)=A + C = 0, logo C=-A.
  2. y'(0)=0 leva a 2A+B+D=0.
  3. y''(0)=-1 leva a B-D=-1.
  4. y'''(0)=0 leva a A=0.

Passo 5

De A=0 segue C=0. Das duas equações restantes
B+D=0, B-D=-1
temos B=-tfrac12 e D=+tfrac12. Substituindo na solução geral resulta
y(x) =-tfrac12,e^alpha xsin(alpha x) +tfrac12,e^-alpha xsin(alpha x) =,-sinhl(alpha xr),sinl(alpha xr)

Resposta

y(x) ;=; -,sinh!l(tfracxraiz2r),sin!l(tfracxraiz2r)

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