(EXTRA) Calcule o seguinte limite:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é uma potência em que a base tende a
quando
(pois
) e o expoente tende a
. A pergunta é: qual o valor numérico desse limite?
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): é muito comum para limites do tipo
tomar o logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar. Isso funciona porque a função exponencial é contínua: se
então
. Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Defino a sequência (ou função) cujo limite eu quero:
Como a base é positiva para
grande (de fato
para
suficientemente grande), posso tomar logaritmo e escrever
Agora vou calcular esse limite do lado direito.
Passo 4
Explicando a ferramenta que vou usar: para
pequeno vale a expansão de Taylor
isto é,
quando
. Aqui
será
, que realmente tende a
quando
. Vou usar a expansão até termos que possam contribuir para o limite quando multiplicados por
.
Passo 5
Calculemos
,
e
até ordens suficientes:
Usando a expansão de
:
Passo 6
Multiplico por
(pois
) e listo os termos que permanecem no limite:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando os termos relevantes:
Cancelam-se os termos de ordem
no limite, ficando
Portanto, tomando limite
,
Passo 7
Concluo o valor do limite original exponenciando:
Comentário intuitivo rápido: a presença do termo
é de ordem menor e não altera o expoente final; em geral
.