(EXTRA) Calcule o seguinte limite:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)^{x}.
Informações dadas: a expressão é uma potência em que a base tende a 1 quando x\to\infty (pois \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}\to0) e o expoente tende a +\infty. A pergunta é: qual o valor numérico desse limite?

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): é muito comum para limites do tipo \left(1+\text{coisa pequena}\right)^{\text{grande}} tomar o logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar. Isso funciona porque a função exponencial é contínua: se \ln L=\ell então L=e^{\ell}. Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Defino a sequência (ou função) cujo limite eu quero:
L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)^{x}.
Como a base é positiva para x grande (de fato 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}>0 para x suficientemente grande), posso tomar logaritmo e escrever
\ln L=\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right).
Agora vou calcular esse limite do lado direito.

Passo 4

Explicando a ferramenta que vou usar: para t pequeno vale a expansão de Taylor
\ln(1+t)=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}+O(t^{4}),
isto é, \ln(1+t)=t+o(t) quando t\to0. Aqui t será t=u(x)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}, que realmente tende a 0 quando x\to\infty. Vou usar a expansão até termos que possam contribuir para o limite quando multiplicados por x.

Passo 5

Calculemos u(x), u(x)^{2} e u(x)^{3} até ordens suficientes:
u(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}.
u(x)^{2}=\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)^{2}=\frac{4}{x^{2}}+\frac{12}{x^{3}}+\frac{9}{x^{4}}.
u(x)^{3}=\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)^{3}=\frac{8}{x^{3}}+O\!\left(\frac{1}{x^{4}}\right).
Usando a expansão de \ln(1+u):
\ln\!\left(1+u(x)\right)=u(x)-\frac{u(x)^{2}}{2}+\frac{u(x)^{3}}{3}+O\!\left(u(x)^{4}\right).

Passo 6

Multiplico por x (pois \ln L=\lim_{x\to\infty} x\ln(1+u(x))) e listo os termos que permanecem no limite:
Primeiro termo:
x\cdot u(x)=x\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)=2+\frac{3}{x}.
Segundo termo:
-x\cdot\frac{u(x)^{2}}{2}=-x\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{4}{x^{2}}+\frac{12}{x^{3}}+\cdots\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{4}{x}+\frac{12}{x^{2}}+\cdots\right)=-\frac{4}{2x}+O\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{2}{x}+O\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Terceiro termo:
x\cdot\frac{u(x)^{3}}{3}=x\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{8}{x^{3}}+O\!\left(\frac{1}{x^{4}}\right)\right)=O\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Somando os termos relevantes:
x\ln\!\left(1+u(x)\right)=\left(2+\frac{3}{x}\right)+\left(-\frac{2}{x}+O\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)+O\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Cancelam-se os termos de ordem 1/x no limite, ficando
x\ln\!\left(1+u(x)\right)=2+O\!\left(\frac{1}{x}\right).
Portanto, tomando limite x\to\infty,
\ln L=\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)=2.

Passo 7

Concluo o valor do limite original exponenciando:
L=e^{\ln L}=e^{2}.
Comentário intuitivo rápido: a presença do termo \dfrac{3}{x^{2}} é de ordem menor e não altera o expoente final; em geral \left(1+\dfrac{a}{x}+o\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)^{x}\to e^{a}.

Resposta

e^{2}

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