Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é a função inversa da cotangente, isto é, a arco-cotangente (às vezes escrita
ou ). - Quer-se
, a derivada em relação a .
Passo 2
Defina a variável auxiliar para trabalhar com a função inversa: seja
. Por definição de função inversa temos
Isto significa que
é o ângulo cujo cosseno sobre seno (cotangente) vale
.
Passo 3
Vamos derivar implicitamente. Para isso precisamos saber a derivada da função
em relação a
. Lembrete (mini-aula rápida): a derivada da função seno é
e da cosseno é
. A cotangente é
; derivando e usando a regra do quociente ou sabendo o resultado padrão, temos
onde
é a cossecante. Outra identidade útil é
que vem de
e da identidade pitagórica para seno e cosseno.
Passo 4
Agora diferenciamos
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
No lado direito
. Igualando as duas derivações:
Isolando
(que é
):
Passo 5
Expressar o resultado em função de
. Usamos a identidade
e lembramos que
(pela definição inicial). Assim
Substituindo em
:
Passo 6
Verificação alternativa (curta): sabendo que, para o ramo principal,
, e que
, obtém-se novamente
o que confirma o resultado anterior.