Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{cotg}^{-1}(x)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de f(x)=\operatorname{cotg}^{-1}(x).
Informações dadas:
  • A função é a função inversa da cotangente, isto é, a arco-cotangente (às vezes escrita \operatorname{arccot}(x) ou \operatorname{cotg}^{-1}(x)).
  • Quer-se f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Defina a variável auxiliar para trabalhar com a função inversa: seja y=f(x)=\operatorname{cotg}^{-1}(x). Por definição de função inversa temos
\cot(y)=x.
Isto significa que y é o ângulo cujo cosseno sobre seno (cotangente) vale x.

Passo 3

Vamos derivar implicitamente. Para isso precisamos saber a derivada da função \cot(u) em relação a u. Lembrete (mini-aula rápida): a derivada da função seno é \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u e da cosseno é \dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u. A cotangente é \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u}; derivando e usando a regra do quociente ou sabendo o resultado padrão, temos
\frac{d}{du}\cot u = -\csc^2 u,
onde \csc u=\dfrac{1}{\sin u} é a cossecante. Outra identidade útil é
\csc^2 u = 1+\cot^2 u,
que vem de \csc^2 u = \dfrac{1}{\sin^2 u} e da identidade pitagórica para seno e cosseno.

Passo 4

Agora diferenciamos \cot(y)=x em relação a x. Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big(\cot(y)\big)=\frac{d}{dy}\cot(y)\cdot\frac{dy}{dx}= -\csc^2(y)\,y'.
No lado direito \dfrac{d}{dx}(x)=1. Igualando as duas derivações:
-\,\csc^2(y)\,y' = 1.
Isolando y' (que é f'(x)):
y' = -\frac{1}{\csc^2(y)}.

Passo 5

Expressar o resultado em função de x. Usamos a identidade \csc^2(y)=1+\cot^2(y) e lembramos que \cot(y)=x (pela definição inicial). Assim
\csc^2(y)=1+\cot^2(y)=1+x^2.
Substituindo em y':
y' = -\frac{1}{1+x^2}.

Passo 6

Verificação alternativa (curta): sabendo que, para o ramo principal, \operatorname{cotg}^{-1}(x)=\dfrac{\pi}{2}-\arctan(x), e que \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^2}, obtém-se novamente
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}^{-1}(x) = -\frac{1}{1+x^2},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}

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