Calcule a derivada das seguintes funções.
f(x)=\ln (3 x+\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(3x+raizxr)
Aqui vamos usar o chain rule, ou regra da cadeia, para derivar ln(u(x)) e também a derivada de raizx.

Passo 2

Definimos
u(x)=3x+raizx,
de modo que
f(x)=lnl(u(x)r)
Pela derivada do logaritmo, temos
f'(x)=u'(x)u(x)

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u(x). Como raizx=x^1/2,
u'(x)=ddx(3x)+ddxl(x^1/2r) =3+12,x^-1/2 =3+12raizx

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u'(x)u(x)
obtemos
f'(x) =3+12raizx3x+raizx

Passo 5

Para simplificar, note que
3+12raizx =6raizx+12raizx e 3x+raizx=raizx,l(3raizx+1r)
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f'(x) =6raizx+12raizx raizx,(3raizx+1) =6raizx+12raizx;raizx,(3raizx+1) =6raizx+12x,(3raizx+1)

Resposta

f'(x)=6raizx+12x,(3raizx+1)

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