Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty 8^n3^2 n x^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência
sumn=1^infty8^n3^2n,x^n
e pede o intervalo de convergência e o raio de convergência; vamos usar o Teste da Razão para séries de potência.

Passo 2

Reescrevendo o coeficiente, notamos que
8^n3^2n = l(tfrac89r)^n,
de modo que a série fica
sumn=1^inftyl(tfrac89xr)^n

Passo 3

No Teste da Razão, tomamos an=(tfrac89x)^n e calculamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinftyl|tfrac89xr| =l|tfrac8x9r|

Passo 4

Para convergir, precisamos de
l|tfrac8x9r|<1,
que equivale a |x|<tfrac98. Portanto, o raio de convergência é
R = tfrac98

Passo 5

Nos extremos x = pmtfrac98, o termo geral vale (pm1)^n ou 1^n, que não tende a zero, logo a série diverge nesses pontos.

Resposta

O raio de convergência é R = tfrac98 e o intervalo de convergência é l(-tfrac98,tfrac98r).

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