Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty n!1000^n cdot(x+21)^n

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série
sumn=1^inftyn!1000^n,(x+21)^n
O conteúdo aqui é determinar a convergência de uma série de potências usando o teste da razão.

Passo 2

Defina an=n!1000^n. Pelo teste da razão, consideramos
L=limntoinfty|an+1(x+21)^n+1an(x+21)^n| =limntoinfty(n+1)!1000^n+1cdot1000^nn!cdot|x+21| =limntoinftyn+11000,|x+21|

Passo 3

Para convergir pelo teste da razão, precisamos de L<1. Mas
limntoinftyn+11000,|x+21|=infty
sempre que |x+21|neq0. Logo, a única forma de ter L<1 é impondo x+21=0, isto é, x=-21.

Passo 4

Concluímos que a série converge apenas no ponto x=-21. O raio de convergência é dado por
R=limntoinfty|anan+1| =limntoinfty1000n+1=0

Resposta

O intervalo de convergência é -21 e o raio de convergência é R=0.

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