Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty 2(-4)^n x^2 n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potência
sumn=1^infty 2(-4)^n,x^2n
O conteúdo aqui é analisar convergência de séries de potência usando a forma de série geométrica (ou, alternativamente, o teste da raiz ou razão).

Passo 2

Reescrevendo o termo geral vemos que
2(-4)^n,x^2n =2,(-1)^nx^2n4^n =2,(-1)^nl(x^24r)^n
Portanto a série é
sumn=1^infty2,(-1)^nl(x^24r)^n,
que é uma série geométrica em n com razão
r = -x^24

Passo 3

Para convergência de uma série geométrica é necessário lvert rrvert<1. Logo,
llvert -x^24rrvert<1 Longrightarrow x^24<1 Longrightarrow x^2<4 Longrightarrow |x|<2
Isto define o intervalo aberto de convergência (-2,2).

Passo 4

Verificamos agora os extremos:
  • Em x=2: os termos são 2(-1)^n, que não tendem a zero, logo a série diverge.
  • Em x=-2: temos o mesmo x^2=4, então também diverge pelos mesmos termos 2(-1)^n.

Resposta

O raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência é
(-2,2)

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