Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potência
O conteúdo aqui é analisar convergência de séries de potência usando a forma de série geométrica (ou, alternativamente, o teste da raiz ou razão).
Passo 2
Reescrevendo o termo geral vemos que
Portanto a série é
que é uma série geométrica em
com razão
Passo 3
Para convergência de uma série geométrica é necessário
. Logo,
Isto define o intervalo aberto de convergência
(-2,2) .
Passo 4
Verificamos agora os extremos:
- Em
: os termos sãox=2 , que não tendem a zero, logo a série diverge.2(-1)^n - Em
: temos o mesmox=-2 , então também diverge pelos mesmos termosx^2=4 .2(-1)^n
Resposta
O raio de convergência é
R=2 e o intervalo de convergência é