Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\pi x^{3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \,f(x)=\pi x^{3}.\n\nInformações dadas: a função é \,f(x)=\pi x^{3}, onde \pi é a constante matemática aproximadamente igual a 3,1415\ldots. A pergunta é: qual é \,f'(x), a derivada de f em função de x?

Passo 2

O que significa “derivar” aqui (explicação curta e intuitiva): derivada é a taxa de variação instantânea da função — geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto x. A definição formal (usada para justificar as regras) é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Nessa expressão, h é um pequeno incremento em x. Se esse limite existe, ele nos dá a derivada.

Passo 3

Vou primeiro derivar a função mais simples \,g(x)=x^{3} usando a definição por limites, para você ver de onde vem a regra. Substituindo na definição:
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Agora expandimos (x+h)^{3}. Lembra do binômio de Newton? Para expoente 3:
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}.
Substituindo:
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}\bigr)-x^{3}}{h}.
Cancelando x^{3}:
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}}{h}.
Fatoramos h no numerador:
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{h\bigl(3x^{2}+3x h+h^{2}\bigr)}{h}.
Simplificando h (para h\neq0) obtemos:
g'(x)=\lim_{h\to0}\bigl(3x^{2}+3x h+h^{2}\bigr).
Agora aplicamos o limite h\to0: os termos com h e h^{2} vão a zero, sobrando
g'(x)=3x^{2}.
Isso mostra, concretamente, que a derivada de \,x^{3} é \,3x^{2}.

Passo 4

Apresentando a regra usada (aula curta): power rule (regra do expoente). Para um inteiro positivo n, a derivada de \,x^{n} é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x a variável. No exemplo anterior, n=3, então \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}. Essa regra pode ser demonstrada pelo mesmo tipo de cálculo por limite que fizemos.

Passo 5

Outra regra importante que vamos usar: regra do fator constante. Se c é uma constante (número fixo) e u(x) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u(x)\bigr)=c\cdot u'(x).
Ou seja, podemos “puxar” a constante para fora da derivada. No nosso problema, \pi é uma constante, então podemos aplicar essa regra.

Passo 6

Aplicando as duas regras ao problema. Temos f(x)=\pi\cdot x^{3}. Pela regra do fator constante,
f'(x)=\pi\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr).
Usando a regra da potência (passo 4) com n=3,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Substituindo:
f'(x)=\pi\cdot 3x^{2}.
Podemos reescrever de forma mais comum colocando o 3 na frente:
f'(x)=3\pi x^{2}.

Resposta

f'(x)=3\pi x^{2}

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