Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.\n\nInformações dadas: a função é
, onde
é a constante matemática aproximadamente igual a
. A pergunta é: qual é
, a derivada de
em função de
?
Passo 2
O que significa “derivar” aqui (explicação curta e intuitiva): derivada é a taxa de variação instantânea da função — geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto
. A definição formal (usada para justificar as regras) é
Nessa expressão,
é um pequeno incremento em
. Se esse limite existe, ele nos dá a derivada.
Passo 3
Vou primeiro derivar a função mais simples
usando a definição por limites, para você ver de onde vem a regra. Substituindo na definição:
Agora expandimos
. Lembra do binômio de Newton? Para expoente
:
Substituindo:
Cancelando
:
Fatoramos
no numerador:
Simplificando
(para
) obtemos:
Agora aplicamos o limite
: os termos com
e
vão a zero, sobrando
Isso mostra, concretamente, que a derivada de
é
.
Passo 4
Apresentando a regra usada (aula curta): power rule (regra do expoente). Para um inteiro positivo
, a derivada de
é
Aqui
é o expoente e
a variável. No exemplo anterior,
, então
. Essa regra pode ser demonstrada pelo mesmo tipo de cálculo por limite que fizemos.
Passo 5
Outra regra importante que vamos usar: regra do fator constante. Se
é uma constante (número fixo) e
é uma função diferenciável, então
Ou seja, podemos “puxar” a constante para fora da derivada. No nosso problema,
é uma constante, então podemos aplicar essa regra.
Passo 6
Aplicando as duas regras ao problema. Temos
. Pela regra do fator constante,
Usando a regra da potência (passo 4) com
,
Substituindo:
Podemos reescrever de forma mais comum colocando o
na frente: