Esboce o gráfico e calcule as derivadas laterais nos pontos indicados: f(x)=\left(\begin{array}{l}2-x^{2}, \text { se } x<-2 \\\\ -2, \text { se }|\mathrm{x}| \leq 2 \\\\ 2 x-6, \text { se } x>2\end{array}\right. em \mathrm{x}=2 e \mathrm{x}=-2
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar o gráfico da função e calcular as derivadas laterais (à esquerda e à direita) nos pontos indicados [\mathrm{x}=-2) e \mathrm{x}=2.
As informações dadas são a função definida por partes:
Definição e estratégia para calcular derivadas laterais — a ideia que vou usar (e que você pode usar na prova):
A derivada à direita de f em a (f'_{+}(a)) é o limite
f'_{+}(a)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Isto significa aproximar x por valores maiores que a e ver a razão incremental.
A derivada à esquerda de f em a (f'_{-}(a)) é o limite
f'_{-}(a)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Isto significa aproximar x por valores menores que a.
Se esses dois limites existem e são iguais, então a derivada f'(a) existe; se forem diferentes, a derivada não existe em a.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas em a=-2 e a=2. Sempre que possível também lembramos a derivada conhecida das funções elementares:
se g(x)=2-x^{2} então g'(x)=-2x;
se h(x)=-2 (constante) então h'(x)=0;
se p(x)=2x-6 então p'(x)=2.
Mas para deixar a solução “à prova de prova”, vou também calcular os limites das diferenças quocientes explicitamente (usando h).
Passo 3
Esboço do gráfico (descrição para que você possa desenhar sem erro):
Ramo esquerdo (x<-2): parte da parábola \,y=2-x^{2}\,. Essa parábola tem vértice em x=0 com valor y=2, mas aqui só usamos a parte para x<-2. Quando x\to-2^{-}, a parábola dá 2-(-2)^{2}=2-4=-2. Como o ramo está definido apenas para x<-2, no ponto (-2,-2) desse ramo teremos um ponto aberto (porque x=-2 não pertence a esse ramo).
Região central (-2\le x\le 2): reta horizontal y=-2. Aqui inclui os pontos (-2,-2) e (2,-2) como pontos preenchidos (pontos cheios).
Ramo direito (x>2): reta y=2x-6. Quando x\to 2^{+} essa reta dá 2\cdot2-6=-2. Como a definição é para x>2, o ponto (2,-2) desse ramo é aberto, mas já existe o ponto preenchido vindo da região central.
Conclusão do esboço: a função é contínua em x=-2 e x=2 (os limites laterais das funções das partes coincidem com -2 e os pontos no meio estão preenchidos); visualmente são “cantos” (kinks) nessas junções porque as inclinações das curvas à esquerda e à direita são diferentes.
Passo 4
Verificação de continuidade em -2 (útil antes de derivar):
Limite pela esquerda: \lim_{x\to -2^{-}}(2-x^{2})=2-(-2)^{2}=-2.
Valor f(-2) (usando a parte |x|\le 2): f(-2)=-2.
Limite pela direita: \lim_{x\to -2^{+}}(-2)=-2.
Portanto f é contínua em -2.
Passo 5
Calculando a derivada à esquerda em -2 usando diferença quociente (vou usar h\to0^{-}):
Para h negativo e pequeno, -2+h < -2, então usamos a fórmula f(x)=2-x^{2}. Assim
f(-2+h)=2-(-2+h)^{2}.
Calcule a diferença no numerador:
f(-2+h)-f(-2)=\big(2-(-2+h)^{2}\big)-(-2).
Expanda (-2+h)^{2}=4-4h+h^{2}. Então
2-(4-4h+h^{2}) = 2-4+4h-h^{2} = -2+4h-h^{2}.
Subtraindo -2 (ou seja, somando 2) temos:
f(-2+h)-f(-2)=(-2+4h-h^{2})-(-2)=4h-h^{2}.
Dividindo por h:
\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{4h-h^{2}}{h}=4-h.
Agora fazemos o limite quando h\to 0^{-}:
f'_{-}(-2)=\lim_{h\to 0^{-}}(4-h)=4.
Passo 6
Calculando a derivada à direita em -2 (usar h\to0^{+}):
Para h>0 pequeno, -2+h > -2 e caímos na região central onde f(x)=-2 constante. Então
f(-2+h)=-2,\qquad f(-2)=-2,
e
\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{-2-(-2)}{h}=0.
Portanto
f'_{+}(-2)=\lim_{h\to 0^{+}}0=0.
Passo 7
Conclusão para -2: as derivadas laterais são diferentes (f'_{-}(-2)=4 e f'_{+}(-2)=0), logo f'( -2) não existe. Apesar disso, f é contínua em -2 (como vimos).
Passo 8
Agora repetimos o procedimento para x=2. Primeiro verificar continuidade (rápido):
Limite pela esquerda (região central): \lim_{x\to 2^{-}} f(x) = -2.
Valor f(2)=-2.
Limite pela direita (reta 2x-6): \lim_{x\to 2^{+}}(2x-6)=2\cdot2-6=-2.
Portanto f é contínua em 2.
Passo 9
Derivada à esquerda em 2 (usar h\to 0^{-}):
Para h<0 pequeno, 2+h\le 2 e estamos na região constante f(x)=-2. Então
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-2-(-2)}{h}=0,
logo
f'_{-}(2)=\lim_{h\to 0^{-}}0=0.
Passo 10
Derivada à direita em 2 (usar h\to 0^{+}):
Para h>0 pequeno, 2+h>2 e usamos f(x)=2x-6. Então
f(2+h)=2(2+h)-6=4+2h-6=-2+2h.
Assim
f(2+h)-f(2)=(-2+2h)-(-2)=2h.
Dividindo por h obtemos
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{2h}{h}=2.
Fazendo o limite h\to 0^{+}:
f'_{+}(2)=2.
Passo 11
Conclusão para 2: f'_{-}(2)=0 e f'_{+}(2)=2. Como as laterais são diferentes, f'(2) não existe. Novamente, a função é contínua em 2, mas tem um “canto” (mudança de inclinação).
Resposta
f'_{-}(-2)=4,\quad f'_{+}(-2)=0 portanto f' não existe em -2. f'_{-}(2)=0,\quad f'_{+}(2)=2 portanto f' não existe em 2.